除子代数几何中的一个重要概念。在黎曼曲面上,它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式线性组合。更一般地说,对于代数闭体上的非奇异代数簇,它可以定义为余维度为一的子簇的(整系数)形式线性组合,也可以定义为的一个整体截面。在满足一定条件的(可以是奇异的)代数簇上,这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面 上,它可以简单的定义为 上的点的(整系数)形式线性组合 ,其中  上的点。型如 的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。 上的全部除子构成一个交换群,记作 

对于 上的非零亚纯函数 ,我们可以定义 的除子

 

其中   零点(非零点的阶为零,极点的阶按负值计)。型如 的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作 。除子类群定义作 。对于紧黎曼面,这是一个有限生成的交换群,它是紧黎曼面 的一个重要不变量。

层论的观点看,除子是一个局部的概念,对于 上任意的除子 ,和 开集 ,可以定义  上的限制 函子  上的

给定 上任何一个除子 ,局部上 都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说,一定存在 的一组开覆盖{ }以及每个 上的函数 ,使得 。一般说来,在  的交集上,  的限制未必相等,但易见在 上,存在一个处处非零的全纯函数 ,使得 。另外, 的选取不是唯一的,因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数 来修正它。反过来,任意一组这样的数据 ,都给出了 上的一个除子。

以上论证表明,黎曼曲面上的任意一个除子 ,都唯一地对应于层 的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发,不难构造除子 所对应的可逆层 :取 的一组开覆盖{ },以及每个 上的函数 ,使得 。取 上的平凡层 ,在交集 上,如前所述  上的一个可逆函数,从而它定义了 上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射 ,不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件,从而他们给出了 上的一个可逆层。

反过来,对于黎曼曲面,每个可逆层都来自于一个除子。事实上,若 是可逆层,令 为任意一个亚纯截面的除子,则 

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子,则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看,若两个除子之差为一主除子,我们可以把它们视作等价。上面定义的映射 给出了它与 的一个同构。这里 是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子 ,我们可以定义 的次数 。根据定义,这一定是一个有限和。对于紧黎曼面,主除子的次数总为零。由此可见,除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子

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X 是一不可约(irreducible),既约(reduced)的局部诺特概形(locally noetherian scheme)。其上一素韦伊除子(prime Weil divisor)是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。

Cartier除子

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假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群,记为  。 它是一个常数层,且包含所有非零正则函数的芽层   为子层。按定义,X 上的一个卡蒂亚除子(Cartier divisor)为商层   的一个整体截面

类群

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Cartier除子类群

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Cartier除子定义的线丛

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