除子代數幾何中的一個重要概念。在黎曼曲面上,它可以簡單的定義為上的點的(整係數)形式線性組合。更一般地說,對於代數閉體上的非奇異代數簇,它可以定義為餘維度為一的子簇的(整係數)形式線性組合,也可以定義為的一個整體截面。在滿足一定條件的(可以是奇異的)代數簇上,這兩種定義分別推廣成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面 上,它可以簡單的定義為 上的點的(整係數)形式線性組合 ,其中  上的點。型如 的除子被稱為素除子。一般的除子都是素除子的線性組合。 上的全部除子構成一個交換群,記作 

對於 上的非零亞純函數 ,我們可以定義 的除子

 

其中   零點(非零點的階為零,極點的階按負值計)。型如 的除子叫做主除子。主除子構成的子群記作 。除子類群定義作 。對於緊黎曼面,這是一個有限生成的交換群,它是緊黎曼面 的一個重要不變量。

層論的觀點看,除子是一個局部的概念,對於 上任意的除子 ,和 開集 ,可以定義  上的限制 函子  上的

給定 上任何一個除子 ,局部上 都可以被寫作一個函數對應的主除子。精確地說,一定存在 的一組開覆蓋{ }以及每個 上的函數 ,使得 。一般說來,在  的交集上,  的限制未必相等,但易見在 上,存在一個處處非零的全純函數 ,使得 。另外, 的選取不是唯一的,因為我們總可以用一個處處非零的全純函數 來修正它。反過來,任意一組這樣的數據 ,都給出了 上的一個除子。

以上論證表明,黎曼曲面上的任意一個除子 ,都唯一地對應於層 的一個整體截面。這是Cartier對於除子的觀點。

從Cartier的觀點出發,不難構造除子 所對應的可逆層 :取 的一組開覆蓋{ },以及每個 上的函數 ,使得 。取 上的平凡層 ,在交集 上,如前所述  上的一個可逆函數,從而它定義了 上平凡層的一個自同構。把這一同構視作粘合映射 ,不難驗證這一族粘合映射滿足cocycle條件,從而他們給出了 上的一個可逆層。

反過來,對於黎曼曲面,每個可逆層都來自於一個除子。事實上,若 是可逆層,令 為任意一個亞純截面的除子,則 

易見主除子對應的可逆層同構於平凡層。兩個除子之和對應的可逆層是原來兩個除子對應之可逆層的張量積。若兩個除子之差為一主除子,則他們定義的線叢是同構的。

從線叢的觀點看,若兩個除子之差為一主除子,我們可以把它們視作等價。上面定義的映射 給出了它與 的一個同構。這裡 是可逆層的同構類在張量積下構成的交換群。

任意一個除子 ,我們可以定義 的次數 。根據定義,這一定是一個有限和。對於緊黎曼面,主除子的次數總為零。由此可見,除子的次數隻依賴於它在Picard群中的像。

Weil除子

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X 是一不可約(irreducible),既約(reduced)的局部諾特概形(locally noetherian scheme)。其上一素韋伊除子(prime Weil divisor)是指一個余維數為一的不可約且既約的子概形。X 上的一個韋伊除子是素韋伊除子的有限形式和。

Cartier除子

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假設 X 為一不可約且既約的諾特概形。則 X 上的非零有理函數的芽關於乘法構成了一個阿貝爾群,記為  。 它是一個常數層,且包含所有非零正則函數的芽層   為子層。按定義,X 上的一個卡蒂亞除子(Cartier divisor)為商層   的一個整體截面

類群

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Cartier除子類群

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Cartier除子定義的線叢

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