黑格纳数(Heegner number)指满足以下性质,非平方数的正整数:其虚二次域Q(√−d)的类数为1,亦即其整数环唯一分解整环[注解 1][1]

黑格纳数只有以下九个: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS数列A003173

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个,但未提出证明,1952年库尔特·黑格纳英语Kurt Heegner提出不完整的证明,后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明,即为斯塔克–黑格纳定理英语Stark–Heegner theorem

欧拉的质数多项式

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欧拉的质数多项式如下:

 

n = 1, ..., 40时会产生不同的40个质数,这相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

欧拉公式, 取值为1,... 40和以下的多项式

 

 取值0,... 39时等效,而Rabinowitz[2]证明了

 

 时,多项式为质数的充份必要条件为其判别式 等于负的黑格纳数。

(若代入 会得到 一定不是质数,因此最大值只能取到 

1, 2和3不符合要求,因此符合条件的黑格纳数为 ,也就表示可以让欧拉公式产生质数的p为 ,这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈英语François Le Lionnais称为欧拉的幸运数英语lucky numbers of Euler[3]

拉马努金常数

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拉马努金常数是 的值,是超越数[4],但非常接近整数

 

这个数字是在1859年由数学家夏尔·埃尔米特发现[5],在1975年愚人节的《科学美国人[6],《数学游戏》的专栏作家马丁·加德纳故意声称这个数字其实是整数,而印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也预测了这个数很接近整数,因此以他的名字来命名。

这个巧合可以用j-invariant英语j-invariant复数乘法英语complex multiplicationq展开来表示。

注解

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  1. ^ Q(√−d)的整数环为唯一分解整环,也就表示Q(√−d)的数字都只有一种因数分解方式,例如Q(√−5)的整数环不是唯一分解整环,因为6可以以两种方式在   中表成整数乘积:  

参考资料

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  1. ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X. 
  2. ^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
  3. ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).  gives  , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
  5. ^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6. 
  6. ^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127. 

外部链接

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