讨论:鸽巢原理

为什么必存在正整数满足“该数除以质数p_1,p_2,p_3.....,p_n，分别余r_1,r_2,r_3....,.r_n”？

为什么在$\operatorname {lcm} (p_{1},p_{2},p_{3}\cdots ,p_{n})$以下的正整数中，必存在一数满足“该数除以质数$p_{1},p_{2},p_{3}\cdots ,p_{n}$，分别余$r_{1},r_{2},r_{3}\cdots ,r_{n}$，其中$0\leq r_{i}\leq p_{i}-1,i=1,2,3\cdots ,n$”？

例如“整数除以3,5,7，分别余2,3,1”，虽然未经计算还不知道这个数是什么，但知道必存在这样的整数。-游蛇脱壳/克劳棣 2017年4月2日 (日) 06:34 (UTC)

我用的是鸽笼原理。为避免代数太多，看得眼花撩乱(以及我也不明白上下颠倒的A、左右颠倒的E是什么意思)，就用以上的实例来说明：

整数除以3，余数可能是0,1,2；整数除以5，余数可能是0,1,2,3,4；整数除以7，余数可能是0,1,2,3,4,5,6；所以余数的组合共有3x5x7=105种。

假设在1到105这105个数中不存在“除以3,5,7，分别余2,3,1”者，则余数的组合只剩104种；105只鸽子关进104个笼子，则至少有一个笼子关了2只以上的鸽子，即1到105至少有两个相异数分别除以3,5,7，所得的余数组合完全相同，但这是不可能的：

设此两数为x,y，则|x-y|是3的倍数，且|x-y|是5的倍数，且|x-y|是7的倍数，即|x-y|是3,5,7的公倍数，x若不等于y，则两数相差至少105，超过了1到105的范围。由反证法，得证。

这意味着1,2,3,4.....,105每个数恰好对应一个余数组合（不会2个以上，也不会没有余数组合），且每个余数组合恰好对应一个数（不会2个数以上，也不会没有数）。

@Iamapighhh：及诸位：不知这个方法可以吗？-游蛇脱壳/克劳棣 2017年4月2日 (日) 06:34 (UTC)

你的证明很正确，也更简洁。我没有想到。我的证明是构造性的，写的太形式化了。$\forall$和$\exists$是两个量词的记号，分别表示全称量化和存在量化，或“对于任意”和“存在”。总之只是个形式啦。如果内容看不明白一定告诉我，我再解释啦。持节云中（留言） 2017年4月2日 (日) 18:00 (UTC)

就是Any 和Exist首字母倒过来写嘛。--Antigng（留言） 2017年4月6日 (四) 05:16 (UTC)

@Antigng：不是All吗？-游蛇脱壳/克劳棣 2017年4月6日 (四) 10:24 (UTC)

For any === for all === for each. Bluedeck 2017年4月6日 (四) 17:58 (UTC)

证明有循环论证嫌疑

鸽笼原理是关于有限集的一个非常基本的命题，它说的是n元集到n-1元集不存在单射。以下命题看上去trivial但跟抽屉原理难度是相近的：m元集与n元集等势推出m=n （即是说，有限集的势是良定义的）; n元集的真子集一定是有限集，而且其势m小于n。

从皮亚诺公理出发证明鸽笼原理必须通过数学归纳：首先1元集到空集不存在任何映射；然后如果找到了一个n元集A到n-1元集B的单射，假设它把元素a射到元素b, 那么我们得到一个A-a到B-b的单射。由于A-a的势是n-1, B-b的势是n-2, 由归纳假设得矛盾。注意A-a的势是n-1也是要证明的，见https://proofwiki.org/wiki/Cardinality_Less_One

原页面给的假设了势的良定义性，属于循环论证；因为势的良定性可以trivially推出抽屉原理，给这样的证明在逻辑链上没有贡献。67.194.233.86（留言） 2017年6月14日 (三) 07:19 (UTC)

虽然我的数学知识没有高深到看懂您在写什么，不过我不觉得这是循环论证，这只有用到很基本的不等式的相加而已：

有5只鸽子，全部关在4个笼子，设各个笼子分别关有a₁、a₂、a₃、a₄只鸽子，且没有任何一个笼子关了2只以上的鸽子，则：

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=5$且

$a_{1}\leq 1$

$a_{2}\leq 1$

$a_{3}\leq 1$

$a_{4}\leq 1$

则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\leq 1+1+1+1$

即$5\leq 4$

矛盾，所以原假设不成立，得证。n+1只鸽子，n个笼子的情况是一样的。

不等式的相加的论证过程有用到鸽笼原理吗？-游蛇脱壳/克劳棣 2017年6月14日 (三) 08:10 (UTC)

“若有n+1个笼子和n只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有一个笼子没有鸽子。”算不算是鸽笼原理？

在下所见过的鸽笼原理的原始表述大多为“若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有一个笼子有至少2只鸽子。”；但其实若把数目交换，也可以有断言，即“若有n+1个笼子和n只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有一个笼子没有鸽子。”，请问这算不算也是鸽笼原理呢？

因为条目中的例子“某男性先后有过4位妻子，合共生有2子3女，则至少有2位子女有同一位母亲，且至少1位妻子没有女儿，至少2位妻子没有儿子。”的证明，似乎两种表述都会用到？谢谢回答！

注：扩充的表述分别为“若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。(n为正整数，k为非负整数)”以及“若有n+k个笼子和n只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有k个笼子没有鸽子。(n,k为非负整数，但n,k不同时为0)”。-游蛇脱壳/克劳棣 2018年12月24日 (一) 10:44 (UTC)

• “若有n+1个笼子和n只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有一个笼子没有鸽子。”本身不是鸽笼原理的直接表述，但可以利用鸽笼原理证明。如果要把n+1个笼子对应n只鸽子内，那么就一定有一只鸽子有多于一个笼子（这是传统鸽笼原理表述的变体）。如果规定在有多个笼子对应一只鸽子的时候，除一个笼子以外其他笼子都是空的，那么我们就证明了，至少有一个笼子是空的。钢琴小子 2018年12月24日 (一) 15:14 (UTC)

我的意思是鸽笼原理是否一定是“鸽子数比笼子数多的时候所下的断言”？还是“笼子数比鸽子数多的时候所下的断言”也是鸽笼原理的一种？而不是问“若有n+k个笼子和n只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有k个笼子没有鸽子。”如何证明。“鸽子数比笼子数多的时候所下的断言”能证明“某男性先后有过4位妻子，合共生有2子3女，则至少有2位妻子没有儿子。”吗？我个人认为是不能的，因为这已经是另一个命题了。“鸽子比笼子多”与“笼子比鸽子多”根本是不同的两件事啊！一个笼子可以关2只以上的鸽子，但一只鸽子可以关在2个以上的笼子里吗？（请不要告诉我把鸽子关在小笼子里，再把小笼子装在大笼子里这种脑筋急转弯式的叙述喔！）

这就好比我问内角72°-72°-36°的三角形是黄金三角形，那么内角36°-36°-108°的三角形是否也是黄金三角形的一种呢？不论是或不是，这两种三角形都不是相似形哪！

所以我的问题就是(再说一遍)“笼子数比鸽子数多的时候所下的断言”是否也是鸽笼原理的一种？谢谢！-游蛇脱壳/克劳棣 2018年12月24日 (一) 17:09 (UTC)

抽屉原理推广后为有A、B两集合，当且仅当B到A存在单射关系时，A到B存在满射关系。笼子少于鸽子是该定理的满射表述，笼子多于鸽子都是该定理的单射表述。上述三者都是抽离原理的不同表示。-Mys_721tx（留言） 2018年12月24日 (一) 18:53 (UTC)

可是它们所得的断言不同，一个是“至少有一个笼子有至少2只鸽子。”，一个是“至少有一个笼子没有鸽子”，请问这样不同的断言是合理的吗？-游蛇脱壳/克劳棣 2018年12月25日 (二) 01:51 (UTC)

满射表述为：有一函数$f:A\to B$。若$f$为满射，则$|A|\geqslant |B|$。该命题的换质换位为：若$|A|<|B|$，则函数$f:A\to B$不是满射。即：若笼子多于鸽子，则存在没有鸽子的笼子。

单射表述为：有一函数$g:B\to A$。若$g$为单射，则$|B|\leqslant |A|$。该命题的换质换位为：若$|B|>|A|$，则函数$g:B\to A$不是单射。即：若鸽子多于笼子，则存在两个处于同一个笼子中的鸽子。

这两个命题互为对偶：如果存在一满射函数$f:A\to B$，则$A$中元素不少于$B$种元素。如果$A$中元素不少于$B$，则存在一单射函数$g:B\to A$。-Mys_721tx（留言） 2018年12月25日 (二) 06:03 (UTC)

@Mys_721tx：君，所以你的意思是不论鸽子、笼子哪个比较多，两种情况都是鸽笼原理的范畴吗？顺便问一句，“若有n+k个笼子和n只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，则至少有k个笼子没有鸽子。”这个扩充的表述是正确的吗？谢谢！-游蛇脱壳/克劳棣 2018年12月25日 (二) 08:26 (UTC)

都属于，n+k没有问题。-Mys_721tx（留言） 2019年1月2日 (三) 02:29 (UTC)