集合(英语:Set,或简称集)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象,指具有某种特定性质的事物的总体,(在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义,集合就是“一堆东西”。)集合里的事物(“东西”),叫作元素。若然
是集合
的元素,记作
。
集合是现代数学中一个重要的基本概念,而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍 ,另外可参见朴素集合论;关于对集合作公理化的理论,可见公理化集合论。
简单来说,所谓的一个集合,就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。
一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。
在数学交流当中为了方便,集合会有一些别名。比如:
元素通常用 等小写字母来表示;而集合通常用 等大写字母来表示。
当元素 属于集合 时,记作 。
当元素 不属于集合 时,记作 。
如果 两个集合所包含的元素完全一样,则二者相等,写作
无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。
- 集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序。(参见序理论)
互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。
- 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用多重集,其中的元素允许出现多次。
确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。
- 大于零的前三个自然数
- 光的三原色和白色
- 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素,称为列举法,比如:
-
- 红色 蓝色 绿色 白色
尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。比如:上述集合中, 而 ,因为它们正好有相同的元素。
元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都没有关系。比如:这三个集合 , 和 是相同的,同样因为它们有相同的元素。
- 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示,更多信息,请见文氏图。
集合 、 ,若 ,有 。则称 是 的子集,亦称 包含于 ,或 包含 ,记作 或 ,否则称 不是 的子集,记作 或 。
若 ,且 ,则称 是 的真子集,亦称 真包含于 ,或 真包含 ,记作 或 (有时也记作 或 )。
- 包含关系“ ”是集合间的一个非严格偏序关系,因为它有如下性质:
- 自反性: 集合 , ;(任何集合都是其本身的子集)
- 反对称性: 且 ;(这是证明两集合相等的常用手段之一)
- 传递性: 且 ;
- 真包含关系“ ”是集合间的一个严格偏序关系,因为它有如下性质:
- 反自反性: 集合 , 都不成立;
- 非对称性: 不成立;反之亦然;
- 传递性: 且 ;
- 显然,包含关系,真包含关系定义了集合间的偏序关系。而 是这个偏序关系的最小元素,即: 集合 , ;且若 ,则 ,(空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集)
- 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
- 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
-
-
两个集合可以相"加"。 和 的并集是将 和 的元素放到一起构成的新集合。
给定集合 , ,定义运算 如下: 或 。 称为 和 的并集。
- 红色 白色 红色 白色
- 绿色 红色 白色 绿色 红色 白色 绿色
-
作为集合间的二元运算, 运算具有以下性质。
- 交换律: ;
- 结合律: ;
- 幂等律: ;
- 幺元: 集合 , ;( 是 运算的幺元)。
一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。 和 的交集,写作 ,是既属于 的、又属于 的所有元素组成的集合。
若 ,则 和 称作不相交。
给定集合 、 ,定义运算 如下: 且 。 称为 和 的交集。
作为集合间的二元运算, 运算具有以下性质。
- 交换律: ;
- 结合律: ;
- 幂等律: ;
- 空集合: 集合 , ;( 是 运算的空集合)。
其它性质还有:
-
- 红色 白色
- 绿色 红色 白色 绿色 绿色
-
两个集合也可以相"减"。 在 中的相对补集,国际上通常写作 ,中文教材中有时也会写作 。表示属于 的、但不属于 的所有元素组成的集合。
在特定情况下,所讨论的所有集合是一个给定的全集 的子集。这样, 称作 的绝对补集,或简称补集(余集),写作 或 。
补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。
给定集合 , ,定义运算-如下: 且 。 称为 对于 的差集,相对补集或相对余集。
在上下文确定了全集 时,对于 的某个子集 ,一般称 为 (对于 )的补集或余集,通常记为 或 ,也有记为 , , ,以及 的。
作为集合间的二元运算,- 运算有如下基本性质:
- ;
- 右幺元: 集合 , ;( 是 运算的右幺元)。
- 左零元: 集合 , ;( 是 运算的左零元)。
- 红色 白色
- 绿色 红色 白色 绿色
-
- 若 是整数集,则奇数的补集是偶数
给定集合 , ,定义对称差运算 如下: 。
作为集合间的二元运算, 运算具有如下基本性质:
- 交换律: ;
- 结合律: ;
- 幺元: 集合 , ;( 是 运算的幺元)。
- 逆元: ;
上述每一个集合都有确定的元素个数;比如:集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种,不同作者及不同书本用不同的写法: 。
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用 或符号 表示。比如:集合 是2004年所有住在月球上的人,它没有元素,则 。在数学上,空集非常重要。更多信息请参阅空集。
如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合。
集合也可以有无穷多个元素,这样的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他信息请见集合的势。
若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”,会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论,数学家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。
在更深层的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的类,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,我们把这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。
定义 类A如果满足条件“ ”,则称类A为一个集合(简称为集),记为 。否则称为本性类。
这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。
- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.