在微积分学 中,上极限和下极限 (英语:Limit superior and limit inferior )是指数列极限 的上极限和下极限,可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说,数列
{
(
−
1
)
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }}
的上极限为 1,下极限为 -1。
函数 的上极限和下极限可以用类似方式考虑。[ 注 1] 。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点 的上确界 和下确界 。
上极限和下极限的示意图。数列 x n 为蓝色。两个红色虚线曲线逼近数列 x n 的上极限和下极限。数列的上下极限相等当且仅当此数列收敛
序列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
的上极限定义是
lim sup
n
→
∞
x
n
=
inf
n
≥
0
sup
k
≥
n
x
k
=
inf
{
sup
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim sup
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
sup
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}
。
同样的,序列
x
n
{\displaystyle x_{n}}
的下极限定义是
lim inf
n
→
∞
x
n
=
sup
n
≥
0
inf
k
≥
n
x
k
=
sup
{
inf
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim inf
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
inf
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}
。
这些定义在任意的偏序集 都适用,只需要上确界 和下确界 存在。
在完全格 里,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。
每当
lim inf
x
n
{\displaystyle \liminf x_{n}}
和
lim sup
x
n
{\displaystyle \limsup x_{n}}
都存在,那么
lim inf
n
→
∞
x
n
≤
lim sup
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
。
上极限和下极限也记为
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
和
lim
_
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}
。
集合 X 的幂集 P (X )是完备格 。对于P (X )中的序列,也就是X 的子集的序列,其上下极限也有用处。
若
X
n
{\displaystyle X_{n}}
是这样的序列,那么X 的元素a 属于
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_{n}}
,当且仅当存在自然数
n
0
{\displaystyle n_{0}}
使得对于所有
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
,a 在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
里。元素a 属于
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_{n}}
,当且仅当对所有自然数
n
0
{\displaystyle n_{0}}
,都存在一个指数
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
使得a 在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
里。换句话说,
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_{n}}
包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n ,使得它在集合
X
n
{\displaystyle X_{n}}
里;而
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_{n}}
包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n ,使得它在
X
n
{\displaystyle X_{n}}
里。
以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合里的最大集合:
inf
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋂
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}
。
令
I
n
{\displaystyle I_{n}}
为自
X
n
{\displaystyle X_{n}}
起的集合的下确界。那么序列
I
n
{\displaystyle I_{n}}
非递减,因为
I
n
⊂
I
n
+
1
{\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}
。所以,第1至n 个下确界的并集就是第n 个下确界。下极限就是这序列的极限:
lim inf
n
→
∞
X
n
=
⋃
n
=
1
∞
(
⋂
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}
。
上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:
sup
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋃
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}
。
上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个里面)。
lim sup
n
→
∞
X
n
=
⋂
n
=
1
∞
(
⋃
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}
。
例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理 ,柯西-阿达马公式 (Cauchy-Hadamard Formula)。
Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536 .
González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154 .