上极限和下极限

微积分学中,上极限和下极限(英语:Limit superior and limit inferior)是指数列极限的上极限和下极限,可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说,数列 的上极限为 1,下极限为 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。[注 1]。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点上确界下确界

上极限和下极限的示意图。数列 xn 为蓝色。两个红色虚线曲线逼近数列 xn 的上极限和下极限。数列的上下极限相等若且唯若此数列收敛

定义

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序列 的上极限定义是

 

或者

 

同样的,序列 的下极限定义是

 

或者

 

这些定义在任意的偏序集都适用,只需要上确界下确界存在。 在完全格里,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当  都存在,那么

 

上极限和下极限也记为  

实数数列

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实数集 R数列微积分很重要。R 不是完备格,但可以加入正负无穷以得到完备全序集  ,形成完备格。那么在   中数列   收敛当且仅当  ,而这时   等于上面的共同值。[注 2]

若实数数列   的上极限为实数[注 3],那么上极限是最小的实数 a,使得对任意小的正实数  ,都存在足够大的正整数 N,使得对所有  ,都有  。换言之,对任何大于上极限的实数,都存在 N 使得这实数是数列  上界

若实数数列   的下极限为实数,那么下极限是最大的实数 b,使得对任意小的正实数  ,都存在足够大的正整数 N,使得对所有  ,都有  。换言之,对任何小于下极限的实数,都存在 N 使得这实数是数列  下界

  是整数数列。若其上极限为实数 a,由于   也符合上述条件,故此 a 必是整数。[注 4]在条件中取  ,得出 a 是最小的实数,使得存在正整数 N,对所有  ,都有  。因此 a 是最大的整数,使得有无限个  。同样地,若其下极限为实数 b,则 b 是最小的整数,使得有无限个  

   ,那么区间   不一定包含任何的  ,但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子

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  •  ,则  。闭区间[-1, 1]中不包含任何 
  • 考虑数列 。应用π无理数性质,可以证明  [注 5]
 
其中 是第 素数[注 6]

集的序列

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集合X幂集P(X)是完备格。对于P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下极限也有用处。

 是这样的序列,那么X的元素a属于 ,当且仅当存在自然数 使得对于所有 a 里。元素a属于 ,当且仅当对所有自然数 ,都存在一个指数 使得a 里。换句话说, 包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n,使得它在集合 里;而 包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n,使得它在 里。

以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合里的最大集合:

 

 为自 起的集合的下确界。那么序列 非递减,因为 。所以,第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限:

 

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:

 

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个里面)。

 

例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)。

注释

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  1. ^ 参见函数的极限
  2. ^ 注意当只是考虑 R 时,收敛至    并不当作收敛,而是视作极限不存在。
  3. ^ 即为有限,不是  
  4. ^   是不大于 a 的最大整数。
  5. ^ 数列 取mod 2π后在[0, 2π]中是稠密的,故得出结果。由等分布定理可知这数列在区间中是等分布的。
  6. ^ 下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而这个下极限是否为有限,是数论中长久以来的未解问题。直到2013年,张益唐首次证明下极限的值有限,并且小于7千万。[1]截至2014年9月,下极限的值的上界已降至246。[2]由整数数列的下极限性质可知,有无限多的正整数n,使得 不大于246。

引用

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  • Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 
  • González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154. 
  1. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10]. (原始内容存档于2014-03-11) (英语). 
  2. ^ Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24]. (原始内容存档于2013-06-20).