几何力学

几何力学将特定的几何方法应用于许多力学领域，从质点力学和刚体力学到流体力学和控制论。

几何力学主要适用于构型空间为李群或微分同胚群的系统，更一般地说，适用于构型空间的某些方面具有此种群结构的系统。例如卫星之类刚体的构型空间是欧氏运动群（空间中的平移与旋转），而液晶的构型空间则是与内部状态（规范对称性或有序参数）耦合的微分同胚群。

动量映射与还原

几何力学的主要思想之一是还原，可追溯到雅可比在三体问题中对节点的消除；现代形式由K. Meyer (1973)与J.E. Marsden、A. Weinstein (1974)分别独立诠释，都受到Smale (1970)的启发。根据诺特定理，哈密顿或拉格朗日系统的对称性会表现为守恒量，就是动量映射J的分量。若P是相空间，G是对称群，则动量映射为$\mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}$，还原空间是J的水平集对保相关水平集的G子群的商：对$\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}$，定义$P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }$，若$\mu$是J的正则值，则此还原空间是辛流形。

几何积分器

力学的重要几何方法是将几何融入数值方法，尤其是辛与变分积分器，特别适于哈密顿和拉格朗日系统的长期积分。

历史

“几何力学”偶尔指17世纪的力学。

作为现代学科，其源于1960年代的四部著作：Vladimir Arnold (1966)、Stephen Smale (1970)、Jean-Marie Souriau(1970)、Abraham & Marsden《力学基础》第一版(1967)。Arnold的基础研究表明，自由刚体的欧拉方程是旋转群SO(3)上的测地流方程，并将这一几何见解应用于理想流体动力学中。当中，旋转群内被保体积微分同胚群取代。Smale关于拓扑学与力学的论文研究了对称性的李群作用于动力系统时，诺特定理产生的守恒量，并定义了现在所谓动量映射（Smale称之为角动量），还提出了能量-动量水平面的拓扑及其对动力的影响。Souriau在书中也考虑了由对称群作用产生的守恒量，但他更关心涉及的几何结构（如该动量在一大类对称中的等差性质），而较少涉及动力学问题。 这些观点，尤其Smale的观点是《力学基础》第二版(Abraham & Marsden, 1978)的核心内容。

应用

• 计算机图形学
• 控制论 — 见Bloch (2003)
• 液晶 — 见Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 磁流体动力学
• 分子振荡
• 非完整约束 — 见Bloch (2003)
• 非线性稳定
• 等离子体 — 见Holm, Marsden, Weinstein (1985)
• 量子力学
• 量子化学 — 见Foskett, Holm, Tronci (2019) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 超流体
• 热力学 — 见Gay-Balmaz, Yoshimra (2018) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 空间探索的轨迹规划
• 水下航行器
• 变分积分器；见Marsden and West (2001)

参考文献

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 1978 
• Arnold, Vladimir, Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 1966, 16: 319–361 [2023-12-01], doi:10.5802/aif.233 , （原始内容存档 (PDF)于2023-10-12） 
• Arnold, Vladimir, Mathematical Methods for Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1978 
• Bloch, Anthony. Nonholonomic Mechanics and Control. Springer-Verlag. 2003. 
• Foskett, Michael S.; Holm, Darryl D.; Tronci, Cesare. Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics. Acta Applicandae Mathematicae. 2019, 162 (1): 63–103. S2CID 85531406. arXiv:1807.01031 . doi:10.1007/s10440-019-00257-1. 
• Gay-Balmaz, Francois; Ratiu, Tudor; Tronci, Cesare. Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics. Arch. Ration. Mech. Anal. 2013, 210 (3): 773–811. Bibcode:2013ArRMA.210..773G. S2CID 14968950. arXiv:1102.2918 . doi:10.1007/s00205-013-0673-1. 
• Holm, Darryl D.; Marsden, Jerrold E.; Ratiu, Tudor S.; Weinstein, Alan. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria. Physics Reports. 1985, 123 (1–2): 1–116 [2023-12-01]. Bibcode:1985PhR...123....1H. doi:10.1016/0370-1573(85)90028-6. （原始内容存档于2022-01-24）. 
• Libermann, Paulette; Marle, Charles-Michel. Symplectic geometry and analytical mechanics. Mathematics and its Applications 35. Dordrecht: D. Reidel. 1987. ISBN 90-277-2438-5. doi:10.1007/978-94-009-3807-6.  含有内容需登入查看的页面 (link)
• Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan, Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry, Reports on Mathematical Physics, 1974, 5 (1): 121–130, Bibcode:1974RpMP....5..121M, doi:10.1016/0034-4877(74)90021-4 
• Marsden, Jerrold; Ratiu, Tudor S. Introduction to mechanics and symmetry. Texts in Applied Mathematics 2. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 0-387-98643-X. 
• Meyer, Kenneth. Symmetries and integrals in mechanics. Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971). New York: Academic Press. 1973: 259–272. 
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9. 
• Smale, Stephen, Topology and Mechanics I, Inventiones Mathematicae, 1970, 10 (4): 305–331, Bibcode:1970InMat..10..305S, S2CID 189831616, doi:10.1007/bf01418778 
• Souriau, Jean-Marie, Structure des Systemes Dynamiques, Dunod, 1970