几何力学将特定的几何方法应用于许多力学领域,从质点力学和刚体力学流体力学控制论

几何力学主要适用于构型空间李群微分同胚群的系统,更一般地说,适用于构型空间的某些方面具有此种群结构的系统。例如卫星之类刚体的构型空间是欧氏运动群(空间中的平移与旋转),而液晶的构型空间则是与内部状态(规范对称性或有序参数)耦合的微分同胚群。

动量映射与还原

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几何力学的主要思想之一是还原,可追溯到雅可比在三体问题中对节点的消除;现代形式由K. Meyer (1973)与J.E. Marsden、A. Weinstein (1974)分别独立诠释,都受到Smale (1970)的启发。根据诺特定理,哈密顿或拉格朗日系统的对称性会表现为守恒量,就是动量映射J的分量。若P是相空间,G是对称群,则动量映射为 ,还原空间是J的水平集对保相关水平集的G子群的商:对 ,定义 ,若 J的正则值,则此还原空间是辛流形。

几何积分器

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力学的重要几何方法是将几何融入数值方法,尤其是辛与变分积分器,特别适于哈密顿和拉格朗日系统的长期积分。

历史

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“几何力学”偶尔指17世纪的力学。[1]

作为现代学科,其源于1960年代的四部著作:Vladimir Arnold (1966)、Stephen Smale (1970)、Jean-Marie Souriau(1970)、Abraham & Marsden《力学基础》第一版(1967)。Arnold的基础研究表明,自由刚体的欧拉方程是旋转群SO(3)上的测地流方程,并将这一几何见解应用于理想流体动力学中。当中,旋转群内被保体积微分同胚群取代。Smale关于拓扑学与力学的论文研究了对称性的李群作用于动力系统时,诺特定理产生的守恒量,并定义了现在所谓动量映射(Smale称之为角动量),还提出了能量-动量水平面的拓扑及其对动力的影响。Souriau在书中也考虑了由对称群作用产生的守恒量,但他更关心涉及的几何结构(如该动量在一大类对称中的等差性质),而较少涉及动力学问题。 这些观点,尤其Smale的观点是《力学基础》第二版(Abraham & Marsden, 1978)的核心内容。

应用

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参考文献

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  1. ^ Sébastien Maronne, Marco Panza. "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".页面存档备份,存于互联网档案馆) In: Raffaelle Pisano. Newton, History and Historical Epistemology of Science, 2014, pp. 12–21.