幾何力學將特定的幾何方法應用於許多力學領域,從質點力學和剛體力學流體力學控制論

幾何力學主要適用於構型空間李群微分同胚群的系統,更一般地說,適用於構型空間的某些方面具有此種群結構的系統。例如衛星之類剛體的構型空間是歐氏運動群(空間中的平移與旋轉),而液晶的構型空間則是與內部狀態(規範對稱性或有序參數)耦合的微分同胚群。

動量映射與還原

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幾何力學的主要思想之一是還原,可追溯到雅可比在三體問題中對節點的消除;現代形式由K. Meyer (1973)與J.E. Marsden、A. Weinstein (1974)分別獨立詮釋,都受到Smale (1970)的啟發。根據諾特定理,哈密頓或拉格朗日系統的對稱性會表現為守恆量,就是動量映射J的分量。若P是相空間,G是對稱群,則動量映射為 ,還原空間是J的水平集對保相關水平集的G子群的商:對 ,定義 ,若 J的正則值,則此還原空間是辛流形。

幾何積分器

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力學的重要幾何方法是將幾何融入數值方法,尤其是辛與變分積分器,特別適於哈密頓和拉格朗日系統的長期積分。

歷史

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「幾何力學」偶爾指17世紀的力學。[1]

作為現代學科,其源於1960年代的四部著作:Vladimir Arnold (1966)、Stephen Smale (1970)、Jean-Marie Souriau(1970)、Abraham & Marsden《力學基礎》第一版(1967)。Arnold的基礎研究表明,自由剛體的歐拉方程是旋轉群SO(3)上的測地流方程,並將這一幾何見解應用於理想流體動力學中。當中,旋轉群內被保體積微分同胚群取代。Smale關於拓撲學與力學的論文研究了對稱性的李群作用於動力系統時,諾特定理產生的守恆量,並定義了現在所謂動量映射(Smale稱之為角動量),還提出了能量-動量水平面的拓撲及其對動力的影響。Souriau在書中也考慮了由對稱群作用產生的守恆量,但他更關心涉及的幾何結構(如該動量在一大類對稱中的等差性質),而較少涉及動力學問題。 這些觀點,尤其Smale的觀點是《力學基礎》第二版(Abraham & Marsden, 1978)的核心內容。

應用

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參考文獻

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  1. ^ Sébastien Maronne, Marco Panza. "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) In: Raffaelle Pisano. Newton, History and Historical Epistemology of Science, 2014, pp. 12–21.