幾何力學

幾何力學將特定的幾何方法應用於許多力學領域，從質點力學和剛體力學到流體力學和控制論。

幾何力學主要適用於構型空間為李群或微分同胚群的系統，更一般地說，適用於構型空間的某些方面具有此種群結構的系統。例如衛星之類剛體的構型空間是歐氏運動群（空間中的平移與旋轉），而液晶的構型空間則是與內部狀態（規範對稱性或有序參數）耦合的微分同胚群。

動量映射與還原

幾何力學的主要思想之一是還原，可追溯到雅可比在三體問題中對節點的消除；現代形式由K. Meyer (1973)與J.E. Marsden、A. Weinstein (1974)分別獨立詮釋，都受到Smale (1970)的啟發。根據諾特定理，哈密頓或拉格朗日系統的對稱性會表現為守恆量，就是動量映射J的分量。若P是相空間，G是對稱群，則動量映射為$\mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}$，還原空間是J的水平集對保相關水平集的G子群的商：對$\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}$，定義$P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }$，若$\mu$是J的正則值，則此還原空間是辛流形。

幾何積分器

力學的重要幾何方法是將幾何融入數值方法，尤其是辛與變分積分器，特別適於哈密頓和拉格朗日系統的長期積分。

歷史

「幾何力學」偶爾指17世紀的力學。

作為現代學科，其源於1960年代的四部著作：Vladimir Arnold (1966)、Stephen Smale (1970)、Jean-Marie Souriau(1970)、Abraham & Marsden《力學基礎》第一版(1967)。Arnold的基礎研究表明，自由剛體的歐拉方程是旋轉群SO(3)上的測地流方程，並將這一幾何見解應用於理想流體動力學中。當中，旋轉群內被保體積微分同胚群取代。Smale關於拓撲學與力學的論文研究了對稱性的李群作用於動力系統時，諾特定理產生的守恆量，並定義了現在所謂動量映射（Smale稱之為角動量），還提出了能量-動量水平面的拓撲及其對動力的影響。Souriau在書中也考慮了由對稱群作用產生的守恆量，但他更關心涉及的幾何結構（如該動量在一大類對稱中的等差性質），而較少涉及動力學問題。 這些觀點，尤其Smale的觀點是《力學基礎》第二版(Abraham & Marsden, 1978)的核心內容。

應用

• 計算機圖形學
• 控制論 — 見Bloch (2003)
• 液晶 — 見Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 磁流體動力學
• 分子振盪
• 非完整約束 — 見Bloch (2003)
• 非線性穩定
• 等離子體 — 見Holm, Marsden, Weinstein (1985)
• 量子力學
• 量子化學 — 見Foskett, Holm, Tronci (2019) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 超流體
• 熱力學 — 見Gay-Balmaz, Yoshimra (2018) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 空間探索的軌跡規劃
• 水下航行器
• 變分積分器；見Marsden and West (2001)

參考文獻

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 1978 
• Arnold, Vladimir, Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 1966, 16: 319–361 [2023-12-01], doi:10.5802/aif.233 , （原始內容存檔 (PDF)於2023-10-12） 
• Arnold, Vladimir, Mathematical Methods for Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1978 
• Bloch, Anthony. Nonholonomic Mechanics and Control. Springer-Verlag. 2003. 
• Foskett, Michael S.; Holm, Darryl D.; Tronci, Cesare. Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics. Acta Applicandae Mathematicae. 2019, 162 (1): 63–103. S2CID 85531406. arXiv:1807.01031 . doi:10.1007/s10440-019-00257-1. 
• Gay-Balmaz, Francois; Ratiu, Tudor; Tronci, Cesare. Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics. Arch. Ration. Mech. Anal. 2013, 210 (3): 773–811. Bibcode:2013ArRMA.210..773G. S2CID 14968950. arXiv:1102.2918 . doi:10.1007/s00205-013-0673-1. 
• Holm, Darryl D.; Marsden, Jerrold E.; Ratiu, Tudor S.; Weinstein, Alan. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria. Physics Reports. 1985, 123 (1–2): 1–116 [2023-12-01]. Bibcode:1985PhR...123....1H. doi:10.1016/0370-1573(85)90028-6. （原始內容存檔於2022-01-24）. 
• Libermann, Paulette; Marle, Charles-Michel. Symplectic geometry and analytical mechanics. Mathematics and its Applications 35. Dordrecht: D. Reidel. 1987. ISBN 90-277-2438-5. doi:10.1007/978-94-009-3807-6.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan, Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry, Reports on Mathematical Physics, 1974, 5 (1): 121–130, Bibcode:1974RpMP....5..121M, doi:10.1016/0034-4877(74)90021-4 
• Marsden, Jerrold; Ratiu, Tudor S. Introduction to mechanics and symmetry. Texts in Applied Mathematics 2. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 0-387-98643-X. 
• Meyer, Kenneth. Symmetries and integrals in mechanics. Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971). New York: Academic Press. 1973: 259–272. 
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9. 
• Smale, Stephen, Topology and Mechanics I, Inventiones Mathematicae, 1970, 10 (4): 305–331, Bibcode:1970InMat..10..305S, S2CID 189831616, doi:10.1007/bf01418778 
• Souriau, Jean-Marie, Structure des Systemes Dynamiques, Dunod, 1970