实现 (控制系统)

系统科学中，针对状态空间模型的实现是指针对给定输入-输出关系的系统表示法。给定一个输入-输出关系，其实现是时变矩阵的四元组 $A(t),B(t),C(t),D(t),$ 使得

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$

其中$(u(t),y(t))$为系统在时间$t$的输入和输出。

线性时不变系统

给定线性时不变系统理论，其传递函数为$H(s)$，其实现为使得$H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$成立的矩阵四元组$(A,B,C,D)$。

正则实现

任何一个真分传递函数都可以依以下的方式转换为状态空间表示方式（这个例子是四阶的单一输入单一输出系统）：

给定传递函数，将分子分母的多项式展开，结果应该如下：

$H(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$.

上述系数可以用以下方式放进状态空间模型中：

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-d_{4}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)$

${\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}&n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)$.

此状态空间实现称为“可控制正则实现”（也称为相变数正则实现），因为此模型保证其可控制性（因为控制中有一连串的积分器，有能力去控制每一个状态。）

也可以用以下的方式将传递函数系数放进状态空间模型，会得到另一种正则实现

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)$

${\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)$.

此状态空间实现称为“可观察正则实现”，因为此模型保证其可观察性（因为输出是由一连串积分器所组成，每一个状态都会影响输出）。

一般系统

D = 0

若有输入$u(t)$、输出$y(t)$以及加权模式 $T(t,\sigma )$，则实现可表示为使下式成立的矩阵三元组$[A(t),B(t),C(t)]$

$T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )$

其中

$\phi$为对应此实现的状态转移矩阵。

系统识别

系统识别的技术可以根据系统的实验资料，分析出其实现。这类技术会同时使用输入及输出资料（例如特征系统实现算法），也有可能只使用输出资料（例如频域分解）。一般而言同时使用输入及输出资料的技术会有较精确的结果，不过不一定都可以找到输入的资料。

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