庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要

复平面上的度量可写成一般形式

$ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}$

这里 λ 是 z 与 ${\overline {z}}$ 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

$l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.$

复平面上子集 M 之面积是

${\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},$

这里 $\wedge$ 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 $\lambda ^{4}$，故而行列式的平方根是 $\lambda ^{2}$。复平面上的欧几里得体积形式为 $dx\wedge dy$，从而我们有

$dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.$

函数 $\Phi (z,{\overline {z}})$ 称为度量的势能（potential of the metric），如果

$4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).$

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

$\Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).$

度量的高斯曲率由

$K=-\Delta \log \lambda ,$

给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 $\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}$ 而 T 是带有度量 $\mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}$ 的黎曼曲面，则映射

$f:S\to T\,$

以及 $f=w(z)$ 是等距当且仅当它是共形的以及

$\mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).$

在这里，映射为共形的也就是条件

$w(z,{\overline {z}})=w(z),$

即

${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.$

庞加莱平面上的度量与体积元

庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为

$ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},$

这里我们记 $dz=dx+i\,dy$。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

$z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},$

对 $ad-bc=1$，则我们可算得

$x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},$

与

$y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},$

无穷小变换为

$dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},$

从而

$dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.$

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素为

$d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.$

对 $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H}$ 度量为

$\rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},$

$\rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.$

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty$ 上任意四点 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 与$z_{4}$，交比定义为

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.$

那么度量用交比表示为

$\rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).$

这里 $z_{1}^{\times }$ 与 $z_{2}^{\times }$ 是端点，位于实数轴上，测地线连接 $z_{1}$ 与 $z_{2}$。这些点是有顺序的故 $z_{1}$ 位于 $z_{1}^{\times }$ 与 $z_{2}$ 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射

上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

$w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},$

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z₀ 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 $\Im z=0$ 映为单位圆盘的边界 $|w|=1$。实常数 $\phi$ 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

$w={\frac {iz+1}{z+i}}$

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 $U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}$ 上为

$ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

体积形式为

$d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

对 $z_{1},z_{2}\in U$ 的庞加莱度量为

$\rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.$

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型

穿孔圆盘坐标上的 J-不变量（J-invariant）；这是 nome 的一个函数。

庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量；注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。

第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

$q=exp(i\pi \tau )$

这里 q 是 nome（Nome），$\tau$ 是半周期比例（half-period ratio）。在上一节的记号中，$\tau$ 是上半平面 $\Im \tau >0$ 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

$ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},$

度量的势能是

$\Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.$

施瓦茨引理

庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

另见

• 富克斯群（Fuchsian group）
• 富克斯模型（Fuchsian model）
• 克莱因群
• 克莱因模型
• 庞加莱圆盘模型
• 庞加莱半平面模型
• 本原测地线（Prime geodesic）
• 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理

引用

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)