怀特海问题

怀特海问题，是群论的一个重要问题，由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。

给定环$\Lambda$上的模$A,B,R$，投射模$P$以及正合列$R\rightarrow P\twoheadrightarrow A$其中第一个箭头由单同态$\mu$实现，记

$\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=\mathrm {Hom(R,B)} /\mathrm {Im} (\mu ^{*})$，

这里$\mu ^{*}$是由$\mu$自然导出的从$\mathrm {Hom} (P,B)$到$\mathrm {Hom} (R,B)$的同态。如果$\Lambda$是整数环$\mathbb {Z}$，则我们省去下标。注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模。

可以证明一个模$A$是投射模当且仅当对于所有的模$B,\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=0$

每一个自由模都是投射模。同调代数中一个经典定理说如果$\Lambda$是主理想整环，那么每一$\Lambda$自由模的子模也是自由的。特别地，整数环$\mathbb {Z}$上的所有自由模的子模都是自由的。因为每一个投射模都是自由模的子模，所以$\mathbb {Z}$上的投射模和自由模是一致的。

怀特海问题是同调代数中一个基本问题，其表述如下：

给定阿贝尔群A，$\mathrm {EXT} (A,\mathbb {Z} )=0$当且仅当A是自由的。

因此怀特海问题可以看作$\mathbb {Z}$上自由模的一个判别法则。

在ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群，那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果$V=L$（即可构成公理成立），那么对每一个基数为$\aleph _{1}$的阿贝尔群，怀特海问题是对的。同时，如果马丁公理成立并且连续统假设不成立，那么存在一个基数为$\aleph _{1}$的阿贝尔群使得怀特海问题是错的。最终地，Shelah于1975年证明了如果$V=L$，那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立。