经典力学几何学里,所有环绕着三维欧几里得空间原点旋转及旋转的复合组成的称为三维旋转群[1],有时会用SO(3) 来表示。

关于原点的旋转是一个保持向量长度,保持空间取向(遵守右手定则左手定则)的线性变换。两个旋转的复合是一个新的旋转。每一个旋转都有一个独特的旋转。上的恒等函数满足旋转的定义,可以作为群的单位元。旋转的复合运算满足结合律。由于符合上述四个要求,所有旋转的集合是一个

每一个非平凡的旋转可以由过原点的旋转轴及旋转角度给出。旋转的复合不满足交换律,因此三维旋转群是非阿贝尔群

更多地,旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构,旋转群的运算是光滑的;所以,它是一个李群

旋转变换是从线性变换,因此选定后,每一个旋转都可以由一个3乘3的矩阵表示。特别地,如果选定的是上的一个标准正交基,那么每一个旋转都可以由一个行列式为1的3乘3的正交矩阵表示。所以SO(3)群可以由一个由行列式为1的正交矩阵及矩阵乘法组成的群表示。这些矩阵被称为特殊(行列式为1)(英语:special)正交(英语:orthgonal) 矩阵,这解释了为什么我们用符号SO(3)来表示三维旋转群。

长度与角度

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除了保持长度(保长),旋转也保持向量间的角度(保角)。原因是两向量uv内积可写作:

 

R3中的保长变换保持了标量内积值不变,也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形,参见典型群

正交矩阵与旋转矩阵

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每一个旋转会将一个 标准正交基映射到另一个标准正交基。作为有限维向量空间上的线性变换,旋转变换可以由一个矩阵表示。令 为给定的一个旋转。关于 标准基  的列为 。由于标准基是标准正交的, 亦保持向量间的角度和向量长度, 的列将构成另一个标准正交基。标准正交的条件可以表示为

 

其中  转置 为3乘3的单位矩阵。满足此条件的矩阵称为正交矩阵。所有3乘3的正交矩阵构成的群记作O(3),包含了所有取向的旋转。

除了保持长度不变,合适的旋转保持空间取向不变。一个行列式为正值的矩阵将保持空间取向不变,反之,一个行列式为负值的矩阵将反转空间取向。对于正交矩阵  暗示了 ,因此 。行列式为1的正交矩阵组成的子群称为特殊正交子群,记作SO(3)。

因此所有旋转可以由一个具有单位行列式的正交矩阵唯一表示。更多地,因为旋转的复合与矩阵乘法相对应,所以三维旋转群与特殊正交群SO(3)同构

瑕旋转对应行列式为-1的正交矩阵,它们不构成一个群,因为两个瑕旋转的复合是一个正规旋转(因为其行列式为1)。

群结构

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旋转轴

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三维空间中非平凡的旋转,皆绕着一个固定的“旋转轴”,此旋转轴是R3的特定一维线性子空间(参见:欧拉旋转定理)。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面,如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示,则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。

举例来说,绕着正z轴旋转φ角的逆时针旋转为

 

给定R3中一单位向量n以及角度φ,设R(φ, n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转,则:

  • R(0, n)为相等变换(identity transformation),n任意单位向量;
  • R(φ, n) = R(−φ, −n);
  • R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用这些特性,参数为旋转角φ(范围: 0 ≤ φ ≤ π)与单位向量n的任意旋转有如下性质:

  • 若φ = 0,n可为任意单位向量;
  • 若0 < φ < π,n为特定单位向量;
  • 若φ = π,n为彼此反向的两特定单位向量;亦即,旋转R(π, ±n)是等价的。

有限子群

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SO(3)中只有很少的几个有限子群,且它们全部是熟悉的对称群,包括有:

相关条目

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诠释

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  1. ^ Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.

参考文献

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Jacobson, Nathan, Basic algebra 1 2nd, Dover Publications, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1