李群胚

光滑流形類別中的內部類群

数学中,李群胚Lie groupoid)是满足如下条件的群胚对象集合 态射集合 都是流形,源与靶运算

淹没,以及所有范畴运算(源与靶,复合,单位映射)都是光滑的。

就像群胚是有许多对象的,一个李群胚可以想象为“有许多对象的李群推广”。恰如每个李群有一个李代数,每个李群胚有一个李代数胚

例子

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  • 任何李群给出了具有一个对象的李群胚,反之亦然。所有李群胚理论包含李群理论。
  • 给定任何流形  ,有一个李群胚称为配对李群胚,  作为对象流形,从一个对象到任何对象恰有一个态射。在这个群胚的态射流形是  
  • 给定一个李群   作用在流形   上,有一个称为平移李群胚的李群胚,对每个三元组   使得   有一个态射。
  • 任何带有结构群 G主丛   给出了一个李群胚,即在 M 上的  ,这里 G 作用在二元组的每个分量上。通过配对群胚相容的表示定义复合。

森田态射与光滑栈

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除了群胚的同构,李群胚之间有一个粗糙一点的等价关系,即所谓的森田等价。一个很一般的例子是 切赫群胚之间的森田态射,如下所述。设 M 是一个光滑流形而  M 的开覆盖。定义不交并   ,显然有淹没  。为了说明流形 M 的结构定义态射集合  ,这里 。源与靶映射定义为嵌入   。如果我们将   视为 M 的子集,乘法是显然的(   一致的点事实上在 M 中相同,也在   里)。

这个切赫群胚事实上是   的拉回群胚,即 Mp 下的平凡群胚。这便是什么为森田态射。

为了得到等价关系的概念,我们需要这个构造具有对称性与传递性。在这种意义下,我们说两个群胚    森田等价当且仅当存在第三个群胚  以及从 GKHK 的两个森田态射。传递性是群胚主丛范畴中有趣的构造。

在这里问题出现:在森田等价下什么是不变的。有两个显然的东西,一个是群胚的粗糙商/轨道空间  ,另一个是    中对应点的稳定群。

更进一步的问题是粗糙商空间的是怎么到一个光滑栈这个概念的。我们可以期望粗糙商是光滑流形,比如如果稳定群是平凡的(切赫群胚的例子便是)。但如果稳定群变了,我们便不能再指望得到光滑流形。解决方案是回到问题然后定义:

一个光滑栈是李群胚的一个森田等价类。栈上自然的几何对象是李群胚在森田等价下不变的几何对象。作为一个例子是考虑李群胚的上同调

例子

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  • 光滑栈的概念非常广泛,显然所有光滑流形是光滑栈。
  • 轨形也是光滑栈,即 艾达尔群胚的等价类。
  • 叶状结构的轨道空间是另一类例子。

参见条目

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外部链接

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  • Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
  • Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005