叶状结构

n维流形上的一类等价关系

微分几何中,叶状结构foliation)是n-流形上的等价关系等价类是连通单射浸入子流形,都具有相同维度p,以实坐标空间分解为标准嵌入子空间陪集为模型。等价类称作叶状结构的(leaf)。[1]若要求流形和/或子流形具有(类的)分段线性微分解析结构,就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的类微分叶状结构中,通常r ≥ 1(否则就是拓扑叶状结构)。[2]p(叶的维度)称作叶状结构的维度,称作其余维数

里布叶状结构的2维截面
里布叶状结构的3维模型

在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中,“叶状结构”用于描述:相关的洛伦兹流形((p+1)维时空)分解为p超平面,指定为梯度处处不为零的实值光滑函数标量场)的水平集;这光滑函数通常被假定为时间函数,梯度处处类时间,因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致,这些超平面通常称作叶状结构的叶。[3]注意,虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构,但这类例子是全局平凡的。虽然(数学)余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集,但一般不能在全局这样表达,[4][5]因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图,叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如,虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构,但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出,因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。

叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上,这些条纹给了流形一个局部乘积结构,不需在局部区域之外一致(不用有良定义的整体结构):沿着一个条纹走足够远,可能回到不同的邻近的条纹。

叶状图与图册

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为给叶状结构下精确定义,需先定义一些辅助元素。

 
3维叶状图(foliated chart),n = 3、q = 1。斑(plaque)是2维的,横截(transversal)是1维的。

 中的邻域是形式为 子集,其中 是第i个坐标轴上(可能无界)的相对开区间。若 具有形式 ,则称B具有边界[6]

 

在下面的定义中,坐标图(coordinate chart)被认为是在 ,允许流形具有边界和()角的可能。

n-流形M上余维为q的叶状图(foliated chart)是 ,其中 是开集, 微分同胚  中的矩邻域,  中的矩邻域。集合 ,其中 称作这叶状图的斑(plaque)。 ,集合 称作叶状图的横截(transversal)。集合 称作U的切边界(tangential boundary), 称作U的横截边界(transverse boundary)。[7]

叶状图是所有叶状结构的基本模型,斑就是叶。 表示“B-切”, 表示“B-截”。还有多种可能。若 都有空边界,则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界,则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说,若 ,则 是斑之并,斑表示的叶状结构切于边界。若 ,则 是横截之并,叶状结构横截于边界。最后,若 ,则建模了叶状流形(foliated manifold),角分开了切边界与横截边界。[7]

 
(a) 与边界相切的叶状结构 ; (b) 与边界相截的叶状结构 ; (c) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构 

n-流形M上余维为q 叶状图册(foliated atlas)是余维为q的叶状图的 -图册 ,只要PQ 的不同图中都是斑,PQPQ中都是开的,它们就是相干叶状结构(coherently foliated)。[8]

重新表述相干叶状图的有效方法是将 写作:[9]

 
 

 常写作 ,其中[9]

 
 

 上,坐标公式可改写为[9]

 
 
 的每个斑都会遇到 的2个斑。

 是相干叶状结构这一条件意味着,若 是斑,则 的连通分量位于 的(可能不同的)斑中。等价地,由于 的斑分别是横坐标 的水平集, 都有邻域,其中公式

 

 无关。[9]

叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来,形成叶状结构;上述一般定义显得有点笨拙,一个问题是, 的斑可以与多个 的斑相遇。甚至可能出现,一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过,如下所示,假设情形更规则,也不失一般性。

 是叶状 图册,则M上两具有相同余维和光滑度的 类叶状图册 是相干的: 。叶状图册的相干是等价关系。[9]

 
规则叶状图册中的图。

上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过,我们也可以谈论闭的斑与横截:若 都是叶状图,使得 U闭包)是W的子集, ;则,若 可知 ,写作 ,将 微分同胚地带到 

符合以下条件的叶状图册称作规则的(regular):

  1.  是叶状图 的紧子集,且 
  2. 覆盖 是局部有限的;
  3.  都是叶状图册的元素,则每个闭斑 的内部与最多与 中的1个斑相遇。[11]

根据性质 (1),坐标 延伸到 上的坐标 ,可以写成 性质 (3)等价于要求:若 ,横坐标变化 独立于 

 

有公式[11]

 

类似论断也适于开图(无覆盖线)。横坐标映射 可视作浸没

 

公式 可视作微分同胚

 

它们满足上循环条件,即,在 上,

 

尤其是,[12]

 
 

用上述关于相干性和规则性的定义,可证明每个叶状图册都有规则的相干细化[13]

叶状结构的定义

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根据实现叶状结构的方式,有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解,得到

 
通过坐标函数 分解

定义 n维流形Mp-维 类叶状结构是将M分解为不交连通子流形 的并,称作叶状结构的叶(leaf),具有如下性质:M的点都有邻域U和局部 类坐标系 ,使得对每片叶  的组分都由方程组 描述。则,叶状结构记作 [5]

叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义,n维流形Mp维叶状结构 也许可简单视作M的逐对不交、连通浸没的p维子流形(叶状结构的叶)的集合 ,使得对点 ,都有图 ,其中U同胚于 ,包含的x使得对每片叶 ,与U相遇或为空集或为子空间的可数集,其在  的像下是前n-p个坐标为常数的p仿射子空间

叶状结构局部上都是浸没,允许下列定义

定义MQn维流形,qn,并令 是浸没,即假设函数微分矩阵(雅可比矩阵)的秩为q,则据隐函数定理ƒM上诱导了余维为q的叶状结构,其中的叶定义为 [5]

这定义描述了n维流形Mp维叶状结构 ,是由(chart) 与下列映射覆盖的:

 

这样,对重叠对 转移函数 定义为

 

形式为

 

其中x表示前 个坐标,y表示后p个坐标(co-ordinates),即

 

将转移函数 拆分为 ,作为浸没的一部分完全类似于将 拆分为 ,作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此,必须首先证明,余维度为q的规则叶状图册都与唯一的余维度为q的叶状结构 相关联。[13]

正如证明所示,叶状结构的叶是长度 ≤ p的斑链的等价类,也是拓扑浸入豪斯多夫p子流形。接着,我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示,即它们与叶状结构的联系。更具体地说,若 M上的叶状图册、且若 与叶状结构 相关联,则当且仅当 也与 相关联时, 相干。[10]

现在很明显,M上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应,换句话说,M上余维为q 类叶状结构 是余维为q 类叶状图册的相干类。[14]佐恩引理,叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是,

定义 M上余维为q 类叶状结构是M上余维为q的最大叶状 -图册。[14]

实践中,通常用较小的叶状图册表示叶状结构,通常还要求是规则的。

在图 中,条纹 与别的图 上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形,就是叶状结构的(leaf)。 若缩小图 ,可以写成 ,其中 与斑同构, 的点参数化了 中的斑。若择 ,则  的子流形,与每个斑恰交一次,这叫做叶状结构的局部横截。注意,由于单值性的原因,全局横截面可能不存在。

r = 0的情形比较特殊。实践中出现的 叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说,是以下意义的 类:

定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册 ,使得坐标变换式

 

属于 类,但 在坐标 中是 类,其阶数≤ r、与 的混合偏导数在坐标 中是 类,则称叶状结构 属于 类。[14]

上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为 的相对紧开子集,允许横坐标 在更一般的拓扑空间Z中取值。斑仍是 的相对紧开子集,横坐标公式 的变化是连续的, 在坐标 中属于 类,其阶数 ≤ r 、与 的混合偏导数在坐标 中连续。一般要求MZ为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广,但在一些情形下很有用。[15]

完整性

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 是叶状流形(foliated manifold)。设L 的叶,sL中的路径,我们感兴趣的是Ms的邻域中叶状结构的行为。直观地说,在叶上可以沿路径s行走,同时关注附近所有叶。在他(以下写作s(t))行走时,一些叶可能会“掉落”、变得不可见;另一些可能会突然进入可视范围,渐渐接近L;还有些可能会以接近平行的方式跟随L,或垂直地打转之类。若s是环路,则随着t增大,s(t)会反复回到同一个点s(t0),每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化,叫做叶状结构的完整性(holonomy)。

完整性在叶状流形上有多种具体实现方式:叶状丛(foliated bundle)的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

叶状丛

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最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性,这是庞加莱映射概念的推广。

 
横截面(cross section)N与第一回归映射(first return map)f,其中 

“第一回归映射”来自动力系统理论。令 是紧n-流形上的非奇异 流。应用中,可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界,则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构 。若知道流的正方向,但不知道其他参数(轨迹形状、速度等),则称底叶状结构(underlying foliation) 有向。假设流有全局横截面N,即NM的n-1维紧正合嵌入的 子流形,叶状结构 垂直于N,每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的,横截性条件是

 

 ,考虑M中所有序列 的所有堆积点的ω-极限集合ω(y),其中 为无穷大。可以证明,ω(y)是紧非空的,是流线的并。若 则有值 使得 ,由此可得

 

由于N是紧的, 横截于N,因此集合 是单调递增序列 ,并发散。

 变化,令 ,这样定义一个正函数 (第一回归时间),使得 

定义 这是 映射。若流反向,则完全相同的构造会得到逆的 ;所以 。这个微分同胚是第一回归映射,τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化,但f显然只取决于有向叶状结构 。可以将流 重参数化,使其保持非奇异、是 类,且方向不翻转,从而使 

流有横截面N的假设是很受限的,意味着M 上纤维丛的总空间。事实上在 上,可将 定义为以下条件生成的等价关系:

 

等价地,这是加法群Z 上的作用的轨等价,定义如下

 

f的映射圆柱定义为 流形

 

由第一回归映射f的定义与第一回归时间 的假设,可立即得出映射

 

流的定义可诱导一个规范 微分同胚

 

若记 ,则 R的投影诱导了 映射

 

使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是  的投影。叶状结构 横截于这丛的纤维,限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射 ,这就是叶状丛(foliated bundle)。

 的等价类 为基点, 就是原横截面N。对 上以 为基点的每个环路s,同伦类 的唯一特征是 。环路s提升到每条流线中的一条路径,很明显提升 始于 、终于 。微分同胚 也用 表示,称作环路s的总整体性。由于只取决于[s],因此定义了同胚

 

称作叶状丛的总整体同胚。

更直观地运用纤维丛,令 是余维为q的叶状n-流形,令 是纤维丛,具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于 类,若r = 0,B支持一个 结构。由于B上的最大 图册都包含 子图册,因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后, ,假设x有连通开邻域 ,和局部平凡化

 

其中φ 微分同胚(若r = 0则是同胚),将 带到积叶状结构 。其中, 是叶为 的连通组分的叶状结构,L 的叶。这是 类“叶状丛”(foliated bundle) 的一般定义。

 垂直于π的纤维(可以说 是垂直于纤维的),π到 的每片叶L的限制是覆盖映射 。特别是,每条纤维 都与 的每片叶相遇。纤维是 的横截,与流的横截完全类似。

叶状结构 横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是 的一个叶状结构横截于纤维

 
 

但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中,“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的,即当参数 接近某个 ,一些叶“奔向无穷大”。更确切地说,可能有叶L,和一条连续路径 使得 ,但 L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流,某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与 相遇,但不能均匀覆盖 的邻域,因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时, 对纤维的横截性确实保证了完备性,于是 是叶状丛。

B上有图册 ,包含开连通坐标图,以及平凡化 ,将 带到积叶状结构。置 ,并记 ,其中(滥用符号) 表示 是将 与规范投影 组合而得的浸没。

图册 的作用类似叶状图册。 的斑是 的水平集,这一族斑通过 ,与F相同。由于预设了B支持某个 结构,据怀特黑德定理,可在B上固定一个黎曼度量,择图册 为测地凸的。于是, 总是连通的。若这个交非空,则 的每个斑都正好与 的一个斑相遇。然后,通过设下式,可定义一个完整上循环(holonomy cocycle)  by setting

 

例子

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平坦空间

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考虑n维空间,是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图(chart)表示,其基本原理是 ,叶或斑  枚举。置n = 3、p = 2,可以类比三维空间:书的2维叶由(1维)页码枚举。

较平凡的叶状结构例子是积 ,叶 M的另一个叶状结构由 给出)。

对流形F而言, 的平坦G-丛是更一般的一类。给定表示 ,具有单值ρ的平坦 -丛由 给出,其中 通过甲板变换作用于万有覆盖 ,通过表示ρ作用于F

平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形F使得 ,都有开邻域U使得有同胚 (其中p1是到第一个因子的投影),则流形之间的映射 是纤维丛。纤维丛产生了由纤维 组成的叶状结构,其叶空间LB同构,前者是豪斯多夫流形。

覆盖

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 是流形间的覆盖映射,FN上的叶状结构,则其拉回到M上的叶状结构。更一般地,若映射只是分歧覆盖(分歧轨迹横截于叶状结构),则叶状结构就可以被拉回。

浸没

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 是流形的浸没,则据反函数定理,浸没的纤维的连通组分定义了M的余维为q的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。

不是纤维丛的浸没的一个例子是

 

这种浸没产生了 的叶状结构,在下列 作用下是不变的:

 

其中  的诱导叶状结构称作(环空的)2维里布叶状结构,或(莫比乌斯带的)2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。

里布叶状结构

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定义一个潜没

 

其中 n维圆盘 上的圆柱坐标。这浸没产生了 的叶状结构,在如下Z作用下是不变的:

 

 的诱导叶状结构被称作n里布叶状结构,其叶空间不是豪斯多夫的。

对于n = 2,这给出了实心环面的叶状结构,可由沿边界粘合两个实心环面,来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球 的叶状结构也是明确已知的。[16]

李群

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G李群H是李子群,则G就会被H陪集叶化。若HG闭合,则商空间 是光滑(豪斯多夫)流形,将G转化为纤维丛,纤维H、基为 。这个纤维丛实际上是的,具有结构群H

李群作用

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G是光滑作用于流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用,则G的轨道定义了M的一个叶状结构。

线性叶状结构与克罗内克叶状结构

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 是非奇异(即无处为零)的向量场,则 定义的局部流拼凑在一起,就定义了维度为1的叶状结构。事实上,给定任一点 ,由于 是非奇异的,所以可找到一个关于x的坐标邻域 ,使得

 
 

从几何角度来看, 的流线就是水平集

 

其中所有的 由惯例,流形是第二可数的,因此类似“长线”这样的叶异常现象会被M本身的第二可数性排除。要求 是完全域(例如M是紧的),从而要求每片叶都是流线,就可以避开这个难题。

 
 上的线性叶状结构 传递到 上的叶状结构 。 a) 斜率是有理的(线性叶状结构); b) 斜率是无理的(克罗内克叶状结构)。
 
2-环面上的无理旋转

环面 上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。 上的恒向量场

 

 中所有平移都不变,因此当投影到环面 时传递到良定义向量场X。假定a ≠ 0。 产生的 上的叶状结构 的叶具有斜率为 的平行线,这叶状结构在平移下也是不变的,并传递到X产生的 上的叶状结构 

 每片叶的形式是

 

若斜率是有理的,则所有叶都是与同胚的闭合曲线。这时,可取 。对固定的  中与 的值对应的点都投影到 的同一点,于是 对应的叶L 中的嵌入圆。由于L是任意的,所以  对圆的叶状结构。由此很容易得出,这个叶状结构实际上就是纤维丛 ,这就是所谓线性叶状结构。

若斜率是无理的,则叶是非紧的,同胚于非紧实线,在环面中稠密(参无理旋转)。每个点 的轨迹永远不会回到同一点,而是在环面上产生“处处稠密”的环绕,会任意接近任何给定的点。于是,轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构,得名于利奥波德·克罗内克

克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数,则集合 在单位圆内稠密。

用平行线对 进行叶状结构的类似构造,可得与环面上的线性流相关的n-环面 的1维叶状结构。

纬悬叶状结构

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平坦丛不仅有对纤维的线性结构,还有横截于纤维的叶状结构,其叶为

 

其中 是规范投影。这个叶状结构称作表示 的纬悬。

具体地说,若  F的同胚,则 的纬悬叶状结构定义为表示 的纬悬叶状结构,由 给出。其叶空间是 ,其中只要对某个 

纬悬叶状结构最简单的例子是q维流形X。令 是双射。将纬悬 定义为 对等价关系 的商。

 

则,M自动携带两个叶状结构: 包含 形式的集合; 包含 形式的集合,其中轨道 定义为

 

其中指数指的是函数f与自身复合的次数。注意 ,对 也同样。理解叶状结构 等效于理解映射f的动力学。若流形X已经叶化,则只要f是叶间映射,就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转 (角度为 )的纬悬叶状结构。

 
切割重粘后,2-洞环面的纬悬。 a) 带待切割截面的双洞环面; b) 切割后带有4个面的几何图形。

更具体地说,若 是2洞环面, 是两个嵌入圆,则 是叶 的3-流形的积叶状结构 。注意 是嵌入环, 横截于 。令 表示 的保向微分同胚群,并择 。将M沿 切开, 表示它们的副本。这时,流形 有4个边界分量 叶状结构 横截边界 的叶状结构 ,叶的形式为 

这片叶在4个圆 中与 相遇。若 ,则 中的对应点记作  通过下列标识,“回到” 

 

由于  的保向微分同胚,因此与恒同(identity)同痕,由这操作得到的流形同胚于M 的叶则重新组合,产生M新的叶状结构 。若 的叶L 包含一片 ,则

 

其中 是由 生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连:

 
 

其中gG上取值。叶完全由 G-轨道决定,可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G-轨道有限,则叶就是紧的。举个极端的例子,若G是平凡的 ,则 。若轨道在 中是稠密的,则对应的叶在M中也稠密。例如,若 是2π的有理独立倍的旋转,则每片叶都是稠密的。其他例子中,某些叶L的闭包 与每个因子 康托尔集中相遇。在 上也可做类似构造,其中I是紧非退化区间。这里,取 ,由于 通过所有保向微分同胚逐点固定了,所以可得一个以 的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M' ,就会得到有角叶状流形。无论哪种情形,这种构造都被称作微分同胚对的纬悬,提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

叶状结构与可积性

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假设一切都光滑,那么向量场之间有一种密切关系:给定M上不为零的向量场X,其积分曲线将给出1维叶状结构(即余维为n-1的叶状结构)。

这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理,即分布(流形切丛np子丛)与叶状结构的叶相切的充分必要条件是,与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为,将切丛的结构群从 约化为可约群。

弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现,并断言若满足条件,就能约化,因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如,对某(非规范) (即非零余向量场),余维为1时可定义叶状结构的切丛为 。若处处都有 ,则给定的α可积。

由于存在拓扑约束,因此存在全局叶状结构理论。例如,曲面情形中,处处非零向量场只能存在于环面有向曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果,指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系,专门研究不可积情形。

叶状结构的存在

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Haefliger (1970)给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。Thurston (1974, 1976证明,任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

参看

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脚注

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  1. ^ Candel & Conlon 2000,第5页
  2. ^ Anosov 2001
  3. ^ Gourgoulhon 2012,第56页
  4. ^ Reeb, G. Remarques sur les structures feuilletées (PDF). Bull. Soc. Math. France. 1959, 87: 445–450 [2024-01-05]. Zbl 0122.41603. doi:10.24033/bsmf.1539 . (原始内容存档 (PDF)于2024-01-05). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Lawson 1974
  6. ^ Candel & Conlon 2000,第19页
  7. ^ 7.0 7.1 Candel & Conlon 2000,第20页
  8. ^ Candel & Conlon 2000,第23页
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Candel & Conlon 2000,第25页
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 Candel & Conlon 2000,第26页
  11. ^ 11.0 11.1 Candel & Conlon 2000,第27页
  12. ^ Candel & Conlon 2000,第28页
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 Candel & Conlon 2000,第29页
  14. ^ 14.0 14.1 14.2 Candel & Conlon 2000,第31页
  15. ^ Candel & Conlon 2000,第32页
  16. ^ Durfee, A.H. Foliations of Odd-Dimensional Spheres. Annals of Mathematics. Second Series. 1972, 96 (2): 407–411. JSTOR 1970795. doi:10.2307/1970795. 

参考文献

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外部链接

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