李群胚

光滑流形類別中的內部類群

數學中,李群胚Lie groupoid)是滿足如下條件的群胚對象集合 態射集合 都是流形,源與靶運算

淹沒,以及所有範疇運算(源與靶,複合,單位映射)都是光滑的。

就像群胚是有許多對象的,一個李群胚可以想像為「有許多對象的李群推廣」。恰如每個李群有一個李代數,每個李群胚有一個李代數胚

例子

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  • 任何李群給出了具有一個對象的李群胚,反之亦然。所有李群胚理論包含李群理論。
  • 給定任何流形  ,有一個李群胚稱為配對李群胚,  作為對象流形,從一個對象到任何對象恰有一個態射。在這個群胚的態射流形是  
  • 給定一個李群   作用在流形   上,有一個稱為平移李群胚的李群胚,對每個三元組   使得   有一個態射。
  • 任何帶有結構群 G主叢   給出了一個李群胚,即在 M 上的  ,這裏 G 作用在二元組的每個分量上。通過配對群胚相容的表示定義複合。

森田態射與光滑棧

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除了群胚的同構,李群胚之間有一個粗糙一點的等價關係,即所謂的森田等價。一個很一般的例子是 切赫群胚之間的森田態射,如下所述。設 M 是一個光滑流形而  M 的開覆蓋。定義不交並   ,顯然有淹沒  。為了說明流形 M 的結構定義態射集合  ,這裏 。源與靶映射定義為嵌入   。如果我們將   視為 M 的子集,乘法是顯然的(   一致的點事實上在 M 中相同,也在   里)。

這個切赫群胚事實上是   的拉回群胚,即 Mp 下的平凡群胚。這便是什麼為森田態射。

為了得到等價關係的概念,我們需要這個構造具有對稱性與傳遞性。在這種意義下,我們說兩個群胚    森田等價若且唯若存在第三個群胚  以及從 GKHK 的兩個森田態射。傳遞性是群胚主叢範疇中有趣的構造。

在這裏問題出現:在森田等價下什麼是不變的。有兩個顯然的東西,一個是群胚的粗糙商/軌道空間  ,另一個是    中對應點的穩定群。

更進一步的問題是粗糙商空間的是怎麼到一個光滑棧這個概念的。我們可以期望粗糙商是光滑流形,比如如果穩定群是平凡的(切赫群胚的例子便是)。但如果穩定群變了,我們便不能再指望得到光滑流形。解決方案是回到問題然後定義:

一個光滑棧是李群胚的一個森田等價類。棧上自然的幾何對象是李群胚在森田等價下不變的幾何對象。作為一個例子是考慮李群胚的上同調

例子

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  • 光滑棧的概念非常廣泛,顯然所有光滑流形是光滑棧。
  • 軌形也是光滑棧,即 艾達爾群胚的等價類。
  • 葉狀結構的軌道空間是另一類例子。

參見條目

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外部連結

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  • Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
  • Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005