格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中,格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广,其又是对紧黎曼曲面线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理
格罗滕迪克对格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的评价
领域代数几何
最初证明者亚历山大·格罗滕迪克
最初证明年1957
推广阿蒂亚-辛格指标定理
可得结果希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理
曲面的黎曼-罗赫定理
黎曼-罗赫定理

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调欧拉示性数与其拓扑度,或更一般地与其(上)同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛,而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形(或更一般的概形)之间态射的相对情形中,并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远,反过来,格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年,亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、[1]Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明(1958)。[2]后来,格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。[3]

公式

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X上的光滑拟射影概形凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群 规范同构(canonically isomorphic)于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构,将陈示性陈类的有理组合)视作一种函子式变换:

 

其中 d维的X上的循环的周群,模去有理等价,以有理数张开。若X定义在复数上,则后一个群映射到拓扑上同调群

 

现在考虑光滑拟射影概形与 上的层 的有界复形之间的真射 

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射

 

(高阶直像的交替和)与前推

 

由公式

 

其中 X(的切丛)的Todd属。因此,定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法,并表明所需的修正函子只取决于XY。事实上,由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的,可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

 

其中 f的相对切层,定义为元素 。例如,当f光滑态射时, 就只是向量丛,即沿f的纤维的切丛。

Navarro & Navarro (2017)运用A1同伦论,将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射

泛化与特化

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考虑组合 的适当推广,可将定理推广到非光滑情况;考虑具有紧支集的上同调,可将定理推广到非真(non-proper)情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形(arithmetic scheme)。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理(本质上)是Y为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。[4]它涉及代数有向上同调论之间的乘法(如代数配边)。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况,这时自然会出现陈示性。[5]

例子

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曲线上的向量丛

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 的光滑射影曲线上秩为 、度为 (定义为其行列式;或等价地,其第一陈类的度)的向量丛 有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点  ,则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

 

于是

 [6]

此式也适于秩为 、度为 的相干层。

光滑真射

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格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如,光滑态射 的纤维都是等维的(在基变为 时作为拓扑空间是同构的)。在模理论中考虑由模空间 对光滑真空间进行参数化时,这事实非常好用。例如,戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。[7]

曲线的模

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 属曲线(且无标记点)的模叠 ,有通用曲线 ,其中 是属 曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

 

其中  是相关的对偶化层。注意 在点 上的纤维,这就是对偶化层 。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环 上的 之和[7] (corollary 6.2),从而找到描述   间的关系。由于 是光滑德利涅-芒福德叠,可考虑由概形 的覆盖,对某个有限群 可给出 。对 应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理,可得

 

因为

 

由上式可知

 

这样, 的计算可以进一步减少。在偶数维 

 

另外在1维,

 

其中 是边界上的一个类。 时,在光滑轨迹 上有如下关系

 

可通过分析 的陈示性推得。

闭嵌入

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闭嵌入 也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述,其显示了公式成立的另一种非平凡情形。[8] 维光滑簇 及余维为 的子簇 ,有

 

由短正合序列

 ,

有下式

 

for the ideal sheaf since  .

应用

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模空间的准射影性

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过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间 (如有尖代数曲线的模空间 )可嵌入到射影空间,因此是准射影簇。这可以通过观察 上的规范相伴层(canonically associated sheaf)、研究相伴线丛的度实现。例如, [9]有曲线族

 

有截面

 

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛 ,有相伴线丛    于是

 

丰沛线丛[9]:209,因此粗糙模空间 是准射影的。

历史

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亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年,在第一届波恩工作会议(Bonn Arbeitstagung)上公开发表,随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先,格罗滕迪克改变了陈述本身:人们当时认为定理是关于代数簇的,而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广,使证明变得简单,而结论变得更宽泛。简言之,格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外,如上所述,格罗滕迪克引入了K-群,为代数K-理论铺平了道路。

另见

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注释

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  1. ^ A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch (1957). Published in SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
  2. ^ Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre. Le théorème de Riemann-Roch. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1958, 86: 97–136 [2023-11-21]. MR 0116022. doi:10.24033/bsmf.1500 . (原始内容存档于2023-11-29). 
  3. ^ SGA 6, Springer-Verlag (1971).
  4. ^ Panin, Ivan; Smirnov, Alexander. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. 2002 [2023-11-21]. (原始内容存档于2016-12-07). 
  5. ^ Morel, Fabien; Levine, Marc, Algebraic cobordism (PDF), Springer, [2023-11-21], (原始内容存档 (PDF)于2022-01-21) , see 4.2.10 and 4.2.11
  6. ^ Morrison; Harris. Moduli of curves. : 154. 
  7. ^ 7.0 7.1 Mumford, David. Towards an Enumerative Geometry of the Moduli Space of Curves. Arithmetic and Geometry. 1983: 271–328 [2023-11-21]. ISBN 978-0-8176-3133-8. doi:10.1007/978-1-4757-9286-7_12. (原始内容存档于2023-11-21). 
  8. ^ Fulton. Intersection Theory. : 297. 
  9. ^ 9.0 9.1 Knudsen, Finn F. The projectivity of the moduli space of stable curves, III: The line bundles on  , and a proof of the projectivity of   in characteristic 0.. Mathematica Scandinavica. 1983-12-01, 52: 200–212. ISSN 1903-1807. doi:10.7146/math.scand.a-12002  (英语). 

参考文献

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外部链接

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