令X為域上的光滑擬射影概形,凝聚層的有界復形的格羅滕迪克群 規範同構(canonically isomorphic)於秩有限向量叢的有界復形的格羅滕迪克群。利用這種同構,將陳示性(陳類的有理組合)視作一種函子式變換:
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其中 是d維的X上的循環的周群,模去有理等價,以有理數張開。若X定義在複數上,則後一個群映射到拓撲上同調群:
-
現在考慮光滑擬射影概形與 上的層 的有界復形之間的真射 。
格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理涉及前推映射
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(高階直像的交替和)與前推
-
由公式
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其中 是X(的切叢)的Todd屬。因此,定理給出了度量上述前推的缺乏交換性的方法,並表明所需的修正函子只取決於X、 Y。事實上,由於Todd屬在正合序列中是函子、乘法的,可以將格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式重寫為
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其中 是f的相對切層,定義為元素 。例如,當f是光滑態射時, 就只是向量叢,即沿f的纖維的切叢。
Navarro & Navarro (2017)運用A1同倫論,將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到f是兩光滑概形間的真映射。
考慮組合 的適當推廣,可將定理推廣到非光滑情況;考慮具有緊支集的上同調,可將定理推廣到非真(non-proper)情況。
算術黎曼-羅赫定理將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到算術概形(arithmetic scheme)。
希策布魯赫-黎曼-羅赫定理(本質上)是Y為點、域為複數域的特例。
有向上同調論的黎曼-羅赫定理由Ivan Panin與Alexander Smirnov提出。[4]它涉及代數有向上同調論之間的乘法(如代數配邊)。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是這結果的特殊情況,這時自然會出現陳示性。[5]
域 的光滑射影曲線上秩為 、度為 (定義為其行列式;或等價地,其第一陳類的度)的向量叢 有類似於線叢的黎曼-羅赫形式的公式。若取點 、 ,則格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式可理解為
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於是
- [6]
此式也適於秩為 、度為 的相干層。
格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式的優點之一是可解釋為希策布魯赫-黎曼-羅赫公式的相對版本。例如,光滑態射 的纖維都是等維的(在基變為 時作為拓撲空間是同構的)。在模理論中考慮由模空間 對光滑真空間進行參數化時,這事實非常好用。例如,戴維·芒福德用它推導了代數曲線模空間上的周環關係。[7]
對 屬曲線(且無標記點)的模疊 ,有通用曲線 ,其中 是屬 曲線和一個標記點的模疊。然後定義重言類
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其中 與 是相關的對偶化層。注意 在點 上的纖維,這就是對偶化層 。可利用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理找到光滑軌跡的周環 上的 之和[7] (corollary 6.2),從而找到描述 的 、 間的關係。由於 是光滑德利涅-芒福德疊,可考慮由概形 的覆蓋,對某個有限群 可給出 。對 應用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理,可得
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因為
-
由上式可知
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這樣, 的計算可以進一步減少。在偶數維 ,
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另外在1維,
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其中 是邊界上的一個類。 時,在光滑軌跡 上有如下關係
-
可通過分析 的陳示性推得。
閉嵌入 也可用格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式描述,其顯示了公式成立的另一種非平凡情形。[8]對 維光滑簇 及余維為 的子簇 ,有
-
由短正合序列
- ,
有下式
-
for the ideal sheaf since .
過兩天都是-黎曼-羅赫公式可用於證明粗糙模空間 (如有尖代數曲線的模空間 )可嵌入到射影空間,因此是准射影簇。這可以通過觀察 上的規範相伴層(canonically associated sheaf)、研究相伴線叢的度實現。例如, [9]有曲線族
-
有截面
-
對應標記點。由於每根纖維都有規範叢 ,有相伴線叢
及
於是
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是豐沛線叢[9]:209,因此粗糙模空間 是准射影的。
亞歷山大·格羅滕迪克的黎曼-羅赫定理最初是在1956–1957年左右寫給讓-皮埃爾·塞爾的一封信中提出的。1957年,在第一屆波恩工作會議(Bonn Arbeitstagung)上公開發表,隨後塞爾和Armand Borel在普林斯頓大學組織了一次研討會來理解它。最後發表的論文實際上就是Borel–塞爾的論述。
格羅滕迪克方法的意義在於以下幾點。首先,格羅滕迪克改變了陳述本身:人們當時認為定理是關於代數簇的,而格羅滕迪克指出其實際上是簇間態射的定理。他找到了正確的推廣,使證明變得簡單,而結論變得更寬泛。簡言之,格羅滕迪克將一種強範疇方法一項艱巨的分析。此外,如上所述,格羅滕迪克引入了K-群,為代數K-理論鋪平了道路。
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