这是概形论术语。欲知代数几何中概形的简介,请见条目仿射概形射影空间概形。本条目旨在列出概形论中的基本技术定义与性质。

一个概形   是一个局部赋环空间,故也是拓扑空间,但“  的点”具有三重涵义:

  • 拓扑空间意义下的点。
  •  -值点:对任一概形  ,一个  -值点是指一个态射  
  • 几何点:当   定义在一个   上时(换言之   -概形),一个几何点乃是一个  -值点,其中   代数闭包

几何点是古典问题的主角,例如对复代数簇而言,通常说“点”即指几何点。拓扑空间的点包括一般点的类比(相对于扎里斯基而非韦伊的理论)。借由米田引理,考虑所有的概形   与所有  -值点,可以将概形   理解为相应的可表函子  ,此观念是代数几何发展史上的一大步。

纤维

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格罗滕迪克的相对几何框架下,一态射的纤维有三重涵义:

  • 一个点(拓扑意义下)的逆像。
  • 两个态射的纤维积:对于仿射概形,纤维积对应到环的张量积
  • 几何纤维:设   -概形(  为域),  为一  -态射,  为一几何点,则   点的几何纤维定义为相应的纤维积  

概形之性质

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概形的大部分性质都是“局部的”,换言之:  具有性质甲,当且仅当对其任一开覆盖  ,每个   皆具性质甲;而通常只要对一组开覆盖验证即可。这类性质有时也被称为“扎里斯基局部”的,藉以区别对于其他格罗滕迪克拓扑的情形(如平展拓扑)。

考虑一概形   及一组仿射开子概形   组成的开覆盖。借此可将概形的局部性质翻译为交换环的性质。一个性质甲在上述意义下是局部的,当且仅当相应的环性质在局部化之下不变。

举例明之,局部诺特概形是能由诺特环交换环谱覆盖的概形。由于诺特环的局部化仍为诺特环,局部诺特性确实是上述意义下的局部性质。另一个例子是既约概形,这也是局部性质,因为若一个交换环无幂零元,则其局部化亦然。

分离概形并非局部性质:任何仿射概形都是分离概形,因此任何概形都是“局部分离”的,然而存在非分离的概形。

以下是环的局部性质列表(不全),由此可定义概形的相应性质。以下令   为一概形之开覆盖。

概念 定义 例子 反例
与概形结构相关者
不可约 若一连通概形   (作为拓扑空间)不能表为两个闭子集的联集,除非其中一者为  ,则称之为不可约概形。利用素理想与仿射概形的点的对应,可知连通概形   不可约当且仅当每个   恰有一个极小素理想。凡诺特概形皆可唯一表示为有限个极大不可约闭子集的联集,这些闭子集称为其不可约成分 仿射空间射影空间 Spec k[x,y]/(xy) =  
既约   皆为既约环(即:无幂零元素),等价的说法是结构层   没有幂零的局部截面。代数几何的一大进步是将代数簇推广为概形,而概形可能是非既约的。 代数簇 (根据定义) k[x]/(x2)
不可约的既约概形称作整概形。等价的说法是:该概形可由整环的谱覆盖。严格地说,这只在连通概形上才是局部性质。 Spec k[t]/f, f 为不可约多项式 Spec AB. (A, B ≠ 0)
正规 若每个   都是整闭的,则称   为正规概形。 正则概形、带有理奇点的曲面 带奇点的曲线
与正则性相关者
正则 若每个   都是正则局部环,则称  正则概形 域上的平滑代数簇 Spec k[x,y]/(x2+x3-y3)= 
Cohen-Macaulay   的局部环皆是Cohen-Macaulay环,则称  Cohen-Macaulay 概形 正则概形、 Spec k[x,y]/(xy)  
与“大小”相关者
局部诺特 每个   皆为诺特环。如果此外更要求该覆盖为有限覆盖,则该概形称为诺特概形 古典代数几何的大部分对象  
  的任两个不可约闭子概形   之间的极大链都有相同长度,则称  链概形,这在局部上对应于链环。整链概形的维度是局部性质。 代数几何的大部分对象 见条目链环中的反例

态射之性质

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格罗滕迪克的基本理念之一是强调“相对”性,亦即置重点于态射的性质。概形范畴有一终对象  ,所以任何概形可以唯一地理解为  -概形,借此可以从态射性质定义概形本身的性质。

以下令

 

为概形间的态射。一如既往,以下的性质也是局部的,即:若存在开覆盖   使得    上的限制带有该性质,则   本身也带该性质。

与拓扑结构相关的概念

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若一个态射在拓扑空间上是开映射,则称此态射为开态射;闭态射的定义类似。平坦态射皆为开态射。

   中稠密,则称此态射为优势态射(英文:dominant morphism,法文:morphisme dominant)。对于仿射概形,优势态射对应到环的单射同态。

开浸入与闭浸入

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  • 开浸入:若   同构于一个开子概形的包含映射,则称之为开浸入。
  • 闭浸入:若   同构于一个闭子概形的包含映射,则称之为闭浸入。闭浸入在局部上对应到环的商同态。闭浸入可以如下刻划:  是闭浸入,当且仅当   在拓扑空间的意义下是个闭浸入( 同胚,且    中的闭集),而且   是满射。
  • 浸入:闭浸入与开浸入的合成。

开浸入仅关乎拓扑,而闭浸入则与结构层有关。概形的闭子集可以带有多种闭子概形结构,其中存在一个始对象,使得其结构层不含幂零元,称为该闭子集对应的既约子概形。

仿射态射与射影态射

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  的仿射开子概形对   的逆像仍为仿射概形,则称  仿射态射。用较炫的说法:仿射态射系来自  -代数的整体   构造,这是整体版本的交换环谱。例子包括向量丛

射影态射的定义类似,此时对应到分次  -代数的整体   构造,另一种等价的刻划是:   是射影态射,当且仅当它可分解为闭浸入   及自然投影  

分离态射与真态射

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  • 分离态射:使得对角态射   为闭浸入的态射,此概念对应到拓扑学中的豪斯多夫空间
  • 真态射:即满足下列性质的态射
    • 分离态射
    • 泛闭(即:任一闭浸入   在对   取纤维积后仍为闭浸入)
    • 有限型

有限型、拟有限与有限态射

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  有一组仿射开覆盖  ,使得态射   对应到  ,使得   是有限  -模,则称此态射为有限态射

若将上述条件改为:  有一组仿射开覆盖   ,使得   是有限生成的  -代数,则称此态射为局部有限型态射;若上述开覆盖   可取为有限的,则称之有限型态射。代数几何中探讨的多数态射都是有限型态射。

  的纤维都是有限的,且是有限型态射,则称之为拟有限态射。有限态射皆为拟有限态射。

平坦态射

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  在结构层的茎上给出平坦同态,则称之为平坦态射。视此态射为一族以   的点为参数的概形,则平坦性可诠释为纤维在变形下的某些良好性质,例如希尔伯特多项式的不变性。

非分歧态射与平展态射

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对一点  ,考虑相应的环同态:

 

   的极大理想,并设

 

若对所有     的极大理想,且导出的映射   是有限、可分的代数扩张,则称此态射为非分歧态射

平坦的非分歧态射称为平展态射,此外尚有多种等价定义。在代数簇的情形,平展态射恰好是在切空间上导出同构的态射,这正好是微分几何中平展态射的定义。

平滑态射

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平滑态射对应到拓扑学中的塞尔纤维化映射,在代数几何中有多种定义:

  •   是有限型平坦态射,且   是局部自由  -模,其秩为  
  •   可分解为某个平展态射   及自然投影   之合成。
  • 形式判准:对任何交换环   及其理想  ,并满足  ,则   是满射。

外部链接

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文献

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