调和平均数

调和平均数（英语：harmonic mean），是求一组数值的平均数的方法中的一种，一般是在计算平均速率时使用。

调和平均数是将所有数值取倒数并求其算术平均数后，再将此算术平均数取倒数而得，其结果等于数值的个数除以数值倒数的总和。一组正数$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$的调和平均数$H$其计算公式为：

$H={\cfrac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+{\cfrac {1}{x_{2}}}+...+{\cfrac {1}{x_{n}}}}}.$

或者

$H={\cfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}$

二数的调和平均数

最常用的是二个正数值$x_{1}$, $x_{2}$的调和平均数$H$：

$H={\cfrac {2}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+{\cfrac {1}{x_{2}}}}}={\cfrac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$

这种情形下，调和平均数$H$和两数的算术平均数$A$,

$A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},$

及几何平均数$G$,

$G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}},$

有以下的关系。

$H={\frac {G^{2}}{A}}.$

应用

1.调和平均数可以用在相同距离但速率不同时，平均速率的计算；如一段路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里〔两段距离相等〕，则其平均速率为两者的调和平均数40公里。

2.阿特伍德机中的张力也恰为调和平均

$T={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

3.另外，两个电阻$R_{1}$, $R_{2}$并联后的等效电阻$R_{eq}$：

$R_{eq}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

恰为两电阻调和平均数的一半。

4.物理学中的减缩质量为调和平均数的一半

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

参见

• 算术平均数
• 几何平均数
• 平方平均数
• 算术-几何平均数
• 几何-调和平均数