连续集

连续集是测度论中的概念。给定测度 $\mu$ 中的波莱尔集 $\mathbf {B}$ 是连续集当且仅当：

|\mu |(\partial B)=0\,.

在测度 $\mu$ 上的所有连续集的集合构成一个环^[1]。

类似地，对一个给定的随机变量 $\mathbf {X}$ ，一个波莱尔集 $\mathbf {B}$ 是连续集，当且仅当

\mathbb {P} (X\in \partial B)=0,

否则称 $\mathbf {B}$ 为不连续集。所有不连续集的集合是稀疏的。特别的，对于两两不交的波莱尔集的集合，其中至多有可数多个集合是不连续集^[2]。

对于拓扑上的映射 $f$ ，其连续集 $C(f)$ 是指其所有的连续点的集合：

C(f)=\{x|\,f\,

在

x

处连续

\}

参考来源

^ Cuppens, R. (1975) Decomposition of multivariate probability. Academic Press, New York.
^ van der Vaart (1998) Asymptotic statistics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78450-4. Page 7

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