迭代函数
定义
在集合 上的迭代函数的形式定义为:
设 是集合和 是函数。定义 的 次迭代 为 而 ,这里的 是在 上的恒等函数。
在上述中, 指示函数复合;就是说 。
换句话说,迭代函数也可以表示为以下的形式:
定义为 。
定义为 的反函数。(如果 的反函数不存在,则 也不存在)
因此, 就是 , 是 , 是恒等函数 , 是 的反函数(如果存在的话),而 就是能够使得合成函数 正好是 的函数 。
注意,一般情况下, 并不等于 或 ,而例如 是 的反函数,亦即 ,而不是 。
例
一些特殊函数的幂次为(其中 、 、 可为任意复数,亦即 ):
, (在 是负实数或虚数的时候并没有定义,就好比 在 是负实数或虚数的时候也没有定义)
,
,
, (注意迭代幂次要由右往左算)
, ( )
, ( )
(注意任何非零复数的任何复数次方都有定义: ,当 为负实数或虚数时, ,其中 为复数 的绝对值, 为复数 的主幅角, 为复数 的实部, 为复数 的虚部)
函数幂亦有类似指数律的定理,其中 、 可为任意复数,亦即 :
注意函数的合成是不可交换的( 并不一定等于 )但因为可结合( 一定等于 ),所以会符合幂结合性,因此这两条“函数幂的指数律”并没有任何问题。
这跟例如指数拓展到次方为负整数、分数、无理数、复数,以及阶乘运算跟排列组合运算 、 拓展到非整数和负数时(使用伽玛函数)一样,二项式定理也可以用这种方式拓展到负整数、分数、无理数、复数,只是会变成无穷级数而不再是有限级数而已,包括矩阵的 次方以及微分 次( 为负整数时等同于积分 次),也都可以用这种方式,把 拓展到任意复数,或例如已知“首项”、“公差/公比”、“项数”的等差数列或等比数列要求出全部项的和或乘积的公式,也都可以用这种方式,拓展到项数为负整数、分数、无理数、复数的情况(包括一般的 与 中, 为常见的函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的时候, 跟 也能拓展到任意复数,就跟积分式 一样),至于超运算 能不能拓展到分数、无理数或复数,则是数学中未解决的问题之一。
从迭代建立序列
函数 的序列叫做 Picard 序列,得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 , 的值的序列叫做 的轨道。
如果对于某个整数 有 ,则轨道叫做周期轨道。对于给定 最小的这种 值叫做轨道的周期。点 自身叫周期点。
不动点
如果m=1,就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x,则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix(f)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。
有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。
极限行为
通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点。
当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。
吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。
其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。
例子
参见
引用
- ^ 疊代iteration. 国家教育研究院辞书资讯网. [2021-11-07]. (原始内容存档于2021-11-08).
名词解释:指重复的一序列指令或事件;如程式的循环。
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7