疊代函數
定義
在集合 上的迭代函數的形式定義為:
設 是集合和 是函數。定義 的 次迭代 為 而 ,這裡的 是在 上的恆等函數。
在上述中, 指示函數複合;就是說 。
換句話說,迭代函數也可以表示為以下的形式:
定義為 。
定義為 的反函數。(如果 的反函數不存在,則 也不存在)
因此, 就是 , 是 , 是恆等函數 , 是 的反函數(如果存在的話),而 就是能夠使得合成函數 正好是 的函數 。
注意,一般情況下, 並不等於 或 ,而例如 是 的反函數,亦即 ,而不是 。
例
一些特殊函數的冪次為(其中 、 、 可為任意複數,亦即 ):
, (在 是負實數或虛數的時候並沒有定義,就好比 在 是負實數或虛數的時候也沒有定義)
,
,
, (注意迭代冪次要由右往左算)
, ( )
, ( )
(注意任何非零複數的任何複數次方都有定義: ,當 為負實數或虛數時, ,其中 為複數 的絕對值, 為複數 的主幅角, 為複數 的實部, 為複數 的虛部)
函數冪亦有類似指數律的定理,其中 、 可為任意複數,亦即 :
注意函數的合成是不可交換的( 並不一定等於 )但因為可結合( 一定等於 ),所以會符合冪結合性,因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。
這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數,以及階乘運算跟排列組合運算 、 拓展到非整數和負數時(使用伽瑪函數)一樣,二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數,只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已,包括矩陣的 次方以及微分 次( 為負整數時等同於積分 次),也都可以用這種方式,把 拓展到任意複數,或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式,也都可以用這種方式,拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況(包括一般的 與 中, 為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候, 跟 也能拓展到任意複數,就跟積分式 一樣),至於超運算 能不能拓展到分數、無理數或複數,則是數學中未解決的問題之一。
從迭代建立序列
函數 的序列叫做 Picard 序列,得名於埃米爾·皮卡。對於一個給定 , 的值的序列叫做 的軌道。
如果對於某個整數 有 ,則軌道叫做周期軌道。對於給定 最小的這種 值叫做軌道的周期。點 自身叫周期點。
不動點
如果m=1,就是說如果對於某個X中的x有f(x) = x,則x被稱為迭代序列的不動點。不動點的集合經常指示為Fix(f)。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性,包括巴拿赫不動點定理和Brouwer不動點定理。
有很多技術通過不動點迭代產生了序列收斂加速。例如,應用於一個迭代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。
極限行為
通過迭代,可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下,會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說,迭代也可以表現得從一個單一點發散;這種情況叫不穩定不動點。
當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候,軌道的會聚點的集合叫做極限集合或 ω-極限集合。
吸引和排斥的想法類似推廣;依據在迭代下小鄰域行為,可把迭代分類為穩定集合和不穩定集合。
其他極限行為也有可能;比如,遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。
例子
參見
引用
- ^ 疊代iteration. 國家教育研究院辭書資訊網. [2021-11-07]. (原始內容存檔於2021-11-08).
名詞解釋:指重複的一序列指令或事件;如程式的迴圈。
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7