1
=
∫
0
∞
x
α
−
1
λ
α
e
−
λ
x
Γ
(
α
)
d
x
{\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x}
⟹
Γ
(
α
)
λ
α
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
λ
x
d
x
{\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x}
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
对于正整数
n
{\displaystyle n\,}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
可以说
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
阶乘 的推广。
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
+
1
−
1
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x}
我们用分部积分法 来计算这个积分：
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
+
n
∫
0
∞
e
−
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}
当
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
−
0
n
e
0
=
0
1
=
0
{\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0}
x
{\displaystyle x\,}
无穷大 时，根据洛必达法则 ，有：
lim
x
→
∞
−
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
−
n
!
⋅
0
e
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0}
因此第一项
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
∫
0
∞
x
n
−
1
e
x
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x}
等式的右面正好是
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle n\Gamma (n)\,}
递推公式 为：
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle {\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,}
当
z
→
0
+
{\displaystyle z\to 0^{+}}
Γ
(
z
)
→
+
∞
{\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty }
欧拉反射公式 （余元公式）：
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
由此可知当
z
=
1
2
{\displaystyle \ z={\tfrac {1}{2}}}
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
伽马函数还是负自然指数函数 的梅林变换 :
Γ
(
z
)
=
M
{
e
−
x
}
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).}
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
m
−
1
2
m
1
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
)
!
π
n
!
4
n
{\displaystyle \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}}
Γ
(
1
/
6
)
=
Γ
(
1
/
3
)
2
/
π
∗
2
2
/
3
∗
sin
(
π
/
3
)
.
{\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3}).}
Γ
(
5
/
6
)
=
1
/
Γ
(
1
/
3
)
2
∗
π
3
∗
2
4
/
3
/
3
.
{\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.}
Γ
(
1
/
10
)
=
Γ
(
1
/
5
)
∗
Γ
(
2
/
5
)
/
π
∗
2
4
/
5
∗
sin
(
2
∗
π
/
5
)
.
{\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5}).}
Γ
(
3
/
10
)
=
Γ
(
1
/
5
)
/
Γ
(
2
/
5
)
∗
π
/
2
3
/
5
/
sin
(
3
∗
π
/
10
)
.
{\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10}).}
Γ
(
7
/
10
)
=
Γ
(
2
/
5
)
/
Γ
(
1
/
5
)
∗
π
∗
2
3
/
5
.
{\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}.}
Γ
(
9
/
10
)
=
1
/
(
Γ
(
1
/
5
)
∗
Γ
(
2
/
5
)
)
∗
π
3
/
2
4
/
5
/
(
sin
(
π
/
10
)
∗
sin
(
2
∗
π
/
5
)
)
.
{\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5})).}
[ 2]
此式可用来协助计算t分布 机率密度函数、卡方分布 机率密度函数、F分布 机率密度函数等的累计机率。
对任何实数α
lim
n
→
∞
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
)
n
α
=
1
,
α
∈
R
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} }
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
（蓝色）、
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
（橘色），数字越大
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
会越趋近
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
。但
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
会在负值则会因为出现虚数而无法使用。
斯特灵公式 能用以估计
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Γ
(
z
+
1
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
其中e 约等于2.718281828459。
Γ
(
−
3
2
)
=
4
3
π
≈
2.363
271
801
207
Γ
(
−
1
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.544
907
701
811
Γ
(
1
2
)
=
π
≈
1.772
453
850
906
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
2
)
=
1
2
π
≈
0.886
226
925
453
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
2
)
=
3
4
π
≈
1.329
340
388
179
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
2
)
=
15
8
π
≈
3.323
350
970
448
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}}
连分数表示
伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数 之和[ 3]
Γ
(
z
)
=
e
−
1
2
+
0
−
z
+
1
z
−
1
2
+
2
−
z
+
2
z
−
2
2
+
4
−
z
+
3
z
−
3
2
+
6
−
z
+
4
z
−
4
2
+
8
−
z
+
5
z
−
5
2
+
10
−
z
+
⋱
+
e
−
1
z
+
0
−
z
+
0
z
+
1
+
1
z
+
2
−
z
+
1
z
+
3
+
2
z
+
4
−
z
+
2
z
+
5
+
3
z
+
6
−
⋱
{\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
Γ函数（蓝色）、Γ函数的微分（橘色），其中，大于50与小于-20的部分被截掉。
对任何复数 z ，满足 Re(z) > 0 ，有
d
n
d
z
n
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
(
ln
t
)
n
d
t
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt}
于是，对任何正整数 m
Γ
′
(
m
+
1
)
=
m
!
(
−
γ
+
∑
k
=
1
m
1
k
)
{\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,}
其中γ是欧拉-马歇罗尼常数 。
Γ
(
x
+
i
y
)
=
{
∫
1
∞
t
x
−
1
e
t
cos
(
y
ln
t
)
d
t
+
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
[
k
+
x
(
k
+
x
)
2
+
y
2
]
}
+
i
{
∫
1
∞
t
x
−
1
e
t
sin
(
y
ln
t
)
d
t
−
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
[
y
(
k
+
x
)
2
+
y
2
]
}
{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}
Γ函数的绝对值函数图形 注意到在
Γ
{\displaystyle \Gamma }
z
{\displaystyle z\,}
复数 、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数 。利用函数方程
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
并注意到函数
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \sin(\pi z)\,}
R
e
(
z
)
<
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}
Γ
(
z
)
=
π
Γ
(
1
−
z
)
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}}
从而将
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
亚纯函数 ，它在
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
⋯
{\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots }
极点 ，留数为
R
e
s
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.}
许多程式语言或试算表软体有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意实数的伽玛函数的值。
例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925 而在没有提供Γ函数的程式环境中，也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十进制可获得有效数字八位数的精确度[ 4] 单精度浮点数 的二进制有效数字24位：
Γ
(
z
)
≈
2
π
z
(
z
e
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
z
{\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af41fc7021a386337e5dcbd3373cf3adccaf7aa1)
![{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5778f9be76c0e625be4eaaed361c47b808b6c70d)
![{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ab32872895753584daf8bf525f5e2cf9378efe)
