1
=
∫
0
∞
x
α
−
1
λ
α
e
−
λ
x
Γ
(
α
)
d
x
{\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x}
⟹
Γ
(
α
)
λ
α
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
λ
x
d
x
{\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x}
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
對於正整數
n
{\displaystyle n\,}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
可以說
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
階乘 的推廣。
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
+
1
−
1
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x}
我們用分部積分法 來計算這個積分：
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
+
n
∫
0
∞
e
−
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}
當
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
−
0
n
e
0
=
0
1
=
0
{\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0}
x
{\displaystyle x\,}
無窮大 時，根據洛必達法則 ，有：
lim
x
→
∞
−
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
−
n
!
⋅
0
e
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0}
因此第一項
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
∫
0
∞
x
n
−
1
e
x
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x}
等式的右面正好是
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle n\Gamma (n)\,}
遞迴公式 為：
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle {\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,}
當
z
→
0
+
{\displaystyle z\to 0^{+}}
Γ
(
z
)
→
+
∞
{\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty }
歐拉反射公式 （余元公式）：
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
由此可知當
z
=
1
2
{\displaystyle \ z={\tfrac {1}{2}}}
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
伽馬函數還是負自然指數函數 的梅林轉換 :
Γ
(
z
)
=
M
{
e
−
x
}
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).}
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
m
−
1
2
m
1
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
)
!
π
n
!
4
n
{\displaystyle \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}}
Γ
(
1
/
6
)
=
Γ
(
1
/
3
)
2
/
π
∗
2
2
/
3
∗
sin
(
π
/
3
)
.
{\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3}).}
Γ
(
5
/
6
)
=
1
/
Γ
(
1
/
3
)
2
∗
π
3
∗
2
4
/
3
/
3
.
{\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.}
Γ
(
1
/
10
)
=
Γ
(
1
/
5
)
∗
Γ
(
2
/
5
)
/
π
∗
2
4
/
5
∗
sin
(
2
∗
π
/
5
)
.
{\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5}).}
Γ
(
3
/
10
)
=
Γ
(
1
/
5
)
/
Γ
(
2
/
5
)
∗
π
/
2
3
/
5
/
sin
(
3
∗
π
/
10
)
.
{\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10}).}
Γ
(
7
/
10
)
=
Γ
(
2
/
5
)
/
Γ
(
1
/
5
)
∗
π
∗
2
3
/
5
.
{\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}.}
Γ
(
9
/
10
)
=
1
/
(
Γ
(
1
/
5
)
∗
Γ
(
2
/
5
)
)
∗
π
3
/
2
4
/
5
/
(
sin
(
π
/
10
)
∗
sin
(
2
∗
π
/
5
)
)
.
{\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5})).}
[ 2]
此式可用來協助計算t分佈 概率密度函數、卡方分佈 概率密度函數、F分佈 概率密度函數等的累計概率。
對任何實數α
lim
n
→
∞
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
)
n
α
=
1
,
α
∈
R
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} }
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
（藍色）、
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
（橘色），數字越大
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
會越趨近
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
。但
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
會在負值則會因為出現虛數而無法使用。
斯特靈公式 能用以估計
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Γ
(
z
+
1
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
其中e 約等於2.718281828459。
Γ
(
−
3
2
)
=
4
3
π
≈
2.363
271
801
207
Γ
(
−
1
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.544
907
701
811
Γ
(
1
2
)
=
π
≈
1.772
453
850
906
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
2
)
=
1
2
π
≈
0.886
226
925
453
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
2
)
=
3
4
π
≈
1.329
340
388
179
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
2
)
=
15
8
π
≈
3.323
350
970
448
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}}
連分數表示
伽馬函數也可以在複數域表示為兩個連分數 之和[ 3]
Γ
(
z
)
=
e
−
1
2
+
0
−
z
+
1
z
−
1
2
+
2
−
z
+
2
z
−
2
2
+
4
−
z
+
3
z
−
3
2
+
6
−
z
+
4
z
−
4
2
+
8
−
z
+
5
z
−
5
2
+
10
−
z
+
⋱
+
e
−
1
z
+
0
−
z
+
0
z
+
1
+
1
z
+
2
−
z
+
1
z
+
3
+
2
z
+
4
−
z
+
2
z
+
5
+
3
z
+
6
−
⋱
{\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。
對任何複數 z ，滿足 Re(z) > 0 ，有
d
n
d
z
n
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
(
ln
t
)
n
d
t
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt}
於是，對任何正整數 m
Γ
′
(
m
+
1
)
=
m
!
(
−
γ
+
∑
k
=
1
m
1
k
)
{\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,}
其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數 。
Γ
(
x
+
i
y
)
=
{
∫
1
∞
t
x
−
1
e
t
cos
(
y
ln
t
)
d
t
+
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
[
k
+
x
(
k
+
x
)
2
+
y
2
]
}
+
i
{
∫
1
∞
t
x
−
1
e
t
sin
(
y
ln
t
)
d
t
−
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
[
y
(
k
+
x
)
2
+
y
2
]
}
{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}
Γ函數的絕對值函數圖形 注意到在
Γ
{\displaystyle \Gamma }
z
{\displaystyle z\,}
複數 、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數 。利用函數方程
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
並注意到函數
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \sin(\pi z)\,}
R
e
(
z
)
<
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}
Γ
(
z
)
=
π
Γ
(
1
−
z
)
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}}
從而將
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
亞純函數 ，它在
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
⋯
{\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots }
極點 ，留數為
R
e
s
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.}
許多程式語言或試算表軟件有提供Γ函數或對數的Γ函數，例如EXCEL。而對數的Γ函數還要再取一次自然指數才能獲得Γ函數值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函數，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實數的伽瑪函數的值。
例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925 而在沒有提供Γ函數的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[ 4] 單精度浮點數 的二進制有效數字24位元：
Γ
(
z
)
≈
2
π
z
(
z
e
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
z
{\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af41fc7021a386337e5dcbd3373cf3adccaf7aa1)
![{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5778f9be76c0e625be4eaaed361c47b808b6c70d)
![{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ab32872895753584daf8bf525f5e2cf9378efe)
