一致连续

一致连续又称均匀连续，（英语：uniformly continuous），为数学分析的专有名词，大致来讲是描述对于函数 $f(\cdot )$ 我们只要在定义域中让任意两点 $x$ 跟 $y$ 越来越接近，我们就可以让 $f(x)$ 跟 $f(y)$ 无限靠近，这跟一般的连续函数不同之处在于：$f(x)$ 跟 $f(y)$ 之间的距离并不依赖 $x$ 跟 $y$ 的位置选择。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定义

设 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 皆是度量空间，我们说函数 $f:X\to Y$ 一致连续，这代表对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得定义域中任意两点 $x,y$ 只要 $d_{1}(x,y)<\delta$，就有 $d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon$。

当 $X$ 和$Y$ 都是实数的子集合，$d_{1}$ 和 $d_{2}$ 为绝对值 $|\cdot |$ 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意两点 $|x-y|<\delta$，都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$，则称函数 $f$ 在 $X$上一致连续。

均匀连续跟在每点连续最大的不同在于：在均匀连续定义中，正数 $\delta$ 的选择只依赖 $\epsilon$ 这变数，而不依赖定义域上点的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数$f:X\to Y$，$(X,d_{1})$为紧致度量空间，$(Y,d_{2})$为度量空间。

假设$f$不是一致连续的，则存在一个$\epsilon >0$，对于任意$n$都存在$x_{n},y_{n}$满足条件$d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}$并且$d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon$。

因为$X$为紧致度量空间，$X$是序列紧致的，所以存在一个$(x_{n})$的收敛子序列$(x_{k_{n}})$，设其收敛到$x$。

$d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0$，所以$(y_{k_{n}})\to x$。

因为$f$连续，$\epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0$，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

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