一致连续

一致連續又稱均勻連續，（英語：uniformly continuous），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 $f(\cdot )$ 我們只要在定義域中讓任意兩點 $x$ 跟 $y$ 越來越接近，我們就可以讓 $f(x)$ 跟 $f(y)$ 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：$f(x)$ 跟 $f(y)$ 之間的距離並不依賴 $x$ 跟 $y$ 的位置選擇。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

设 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 皆是度量空间，我們說函数 $f:X\to Y$ 一致连续，這代表對任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得定義域中任意兩點 $x,y$ 只要 $d_{1}(x,y)<\delta$，就有 $d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon$。

当 $X$ 和$Y$ 都是實數的子集合，$d_{1}$ 和 $d_{2}$ 為絕對值 $|\cdot |$ 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意兩點 $|x-y|<\delta$，都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$，则稱函數 $f$ 在 $X$上一致连续。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 $\delta$ 的選擇只依賴 $\epsilon$ 這變數，而不依賴定義域上點的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数$f:X\to Y$，$(X,d_{1})$为紧致度量空间，$(Y,d_{2})$为度量空间。

假设$f$不是一致连续的，則存在一個$\epsilon >0$，对于任意$n$都存在$x_{n},y_{n}$满足条件$d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}$并且$d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon$。

因为$X$为紧致度量空间，$X$是序列紧致的，所以存在一个$(x_{n})$的收敛子序列$(x_{k_{n}})$，设其收敛到$x$。

$d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0$，所以$(y_{k_{n}})\to x$。

因为$f$连续，$\epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0$，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

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