乒乓引理

群论中，乒乓引理（ping-pong lemma）给出了一个充分条件，保证一个群中数个子群所生成的群是这些子群的自由积。

历史

使用乒乓引理的论证法可以追溯至19世纪后期，通常认为是菲利克斯·克莱因最先使用，他研究克莱因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，证明著名的蒂茨两择性（Tits alternative）结果，一个主要工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成的线性群，或是一个逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学及几何群论。

定理叙述

设G为群，作用在集合X上，H₁和H₂是G的非平凡子群，H是H₁和H₂生成的群。若X有两个不交非空子集X₁和X₂，使得

• 对所有$1\neq a\in H_{1}$，都有$a(X_{2})\subset X_{1}$
• 对所有$1\neq b\in H_{2}$，都有$b(X_{1})\subset X_{2}$

则H是H₁和H₂的自由积，即$H=H_{1}*H_{2}$，或者$\left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2$，而H是二面体群。

证明

设w是用H₁和H₂的元素写出的非空简约字。若$w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}$，其中$a_{i}\in H_{1}\setminus \{1\}$，$b_{i}\in H_{2}\setminus \{1\}$，则

${\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}$

故$w\neq 1$。同上得$w=b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}\cdots b_{k}\neq 1$。

若H₁和H₂的阶不都等于2，不失一般性，假设$\left|H_{1}\right|>2$。若$w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}$，取$a\in H_{1}\setminus \{1,a_{1}^{-1}\}$，则$1\neq aa_{1}\in H_{1}$，故由上可知

$awa^{-1}=aa_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}a^{-1}\neq 1$，

得$w\neq 1$。若$w=b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}$，取$a\in H_{1}\setminus \{1,a_{k}\}$，则$1\neq a_{k}a^{-1}\in H_{1}$，同上可得$awa^{-1}\neq 1$，故$w\neq 1$。因此得出$H=H_{1}*H_{2}$。

若$\left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2$，令$H_{1}=\{1,a\}$，$H_{2}=\{1,b\}$。从上可知若有以a, b写出的非空简约字w等于1，则w只可能是$ab\cdots ab$或$ba\cdots ba$，故对某些数n > 0有$(ab)^{n}=1$。取其最小者的值为n，则H为二面体群$D_{2n}$。若无如此简约字w，则$H=H_{1}*H_{2}$。

推广

乒乓引理可以推广至数个子群的情形：

设G为群，作用在集合X上。又设H₁, H₂, ... , H_k是G的非平凡子群，且当中至少一个的阶不小于3。若X有两两不交的非空子集X₁, X₂, ... , X_k，使得当$i\neq j$时，对所有$1\neq a\in H_{i}$，都有$a(X_{j})\subset X_{i}$。则H₁, H₂, ... , H_k所生成的群是其自由积，即

$\langle H_{1},\cdots ,H_{k}\rangle =H_{1}*H_{2}*\cdots *H_{k}$。

这条定理的证明与两个子群时的证明类似。

应用例子

特殊线性群

矩阵${\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$和${\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}$在特殊线性群$SL(2,\mathbb {Z} )$中生成的子群是秩2的自由群。

证明

群$SL(2,\mathbb {Z} )$以线性变换作用在平面$\mathbb {R} ^{2}$上。 设这两个矩阵各自生成子群

$H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}$

$H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}$

又设平面的两个不交子集为

$X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}$

$X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}$

H₁, H₂都同构于无限循环群。因为H₁, H₂, X₁, X₂适合乒乓引理的条件，由乒乓引理得出H₁, H₂生成的群为其自由积，而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。

参考

• Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.