六进制
整数
编辑六进制使用从0到5的六个数字, 将6表示为“10”,将7表示为“11”,将8表示为“12”。至于幂数,100是十进制36,1000是十进制216,而10000是十进制1296。这是通常用于由六个组成的事物如骰子。
序列的进行如下。
六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
六进制 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 100 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十进制 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
六进制 | 230 | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 | 240 | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 | 250 | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | 300 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十进制 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 |
在六进制系统中“5 +1 = 10”,因此“10÷2 = 3”和“10÷3 = 2”。因此,以3的倍数计数并除以3变得非常容易。在计数方法中,“七”变为“六一”(11),“十二”变为“二六”(20),“十八”变为“三六”(30),“二十一”变为“三六三”(33),“二十七”变为“四六三”(43)。
100(十进制36)之后的如下。
- 121 (1×62 + 2×61 + 1) = 十进制49
- 144 (1×62 + 4×61 + 4) = 十进制64
- 213 (2×62 + 1×61 + 3) = 十进制81
- 244 (2×62 + 4×61 + 4) = 十进制100
- 300 (3×62) = 十进制108
- 345 (3×62 + 4×61 + 5) = 十进制137
- 451 (4×62 + 5×61 + 1) = 十进制175
- 500 (5×62) = 十进制180
- 1000 (1×63) = 十进制216
- 1104 (1×63 + 1×62 + 0×61 + 4) = 十进制256
- 1405 (1×63 + 4×62 + 0×61 + 5) = 十进制365
- 2000 (2×63) = 十进制432
- 2521 (2×63 + 5×62 + 2×61 + 1) = 十进制625
- 3213 (3×63 + 2×62 + 1×61 + 3) = 十进制729
- 4344 (4×63 + 3×62 + 4×61 + 4) = 十进制1000
- 5000 (5×63) = 十进制1080
- 10000 (1×64) = 十进制1296
- 13000 (1×64 + 3×63) = 十进制1944
- 13132 (1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2) = 十进制2000
- 24000 (2×64 + 4×63) = 十进制3456
- 35052 (3×64 + 5×63 + 0×62 + 5×61 + 2) = 十进制5000
- 40000 (4×64) = 十进制5184
- 50213 (5×64 + 0×63 + 2×62 + 1×61 + 3) = 十进制6561
- 100000 (1×65) = 十进制7776
- 101043 (1×65 + 0×64 + 1×63 + 0×62 + 4×61 + 3) = 十进制8019
- 114144 (1×65 + 1×64 + 4×63 + 1×62 + 4×61 + 4) = 十进制10000
- 120000 (1×65 + 2×64) = 十进制10368
幂乘
编辑在六进制中,由于2与3的指数相同,因此可以表示为 "10n = 2n×3n"。 六与十都是两个素数的乘积,十的3×n乘(143×n)与六的4×n乘(104×n)彼此接近。因此,以十进制法分隔三位数字(例如公制)的系统将变为六进制法分隔四位数字。
指数 | 六进制 | 十进制 |
---|---|---|
1 | 10 | 6 |
2 | 100 | 36 |
3 | 1000 | 216 |
4 | 1 0000 | 1296 |
5 | 10 0000 | 7776 |
10 | 100 0000 | 4 6656 |
11 | 1000 0000 | 27 9936 |
12 | 1 0000 0000 | 167 9616 |
13 | 10 0000 0000 | 1007 7696 |
14 | 100 0000 0000 | 6046 6176 |
15 | 1000 0000 0000 | 3 6279 7056 |
20 | 1 0000 0000 0000 | 21 7678 2336 |
21 | 10 0000 0000 0000 | 130 6069 4016 |
22 | 100 0000 0000 0000 | 783 6416 4096 |
23 | 1000 0000 0000 0000 | 4701 8498 4576 |
24 | 1 0000 0000 0000 0000 | 2 8211 0990 7456 |
25 | 10 0000 0000 0000 0000 | 16 9266 5944 4736 |
30 | 100 0000 0000 0000 0000 | 101 5599 5666 8416 |
指数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 2 | 4 | 12 | 24 | 52 | 144 | 332 | 1104 | 2212 | 4424 | 13252 | 30544 |
3 | 3 | 13 | 43 | 213 | 1043 | 3213 | 14043 | 50213 | 231043 | 1133213 | 3444043 | 15220213 |
5 | 5 | 41 | 325 | 2521 | 22245 | 200201 | 1401405 | 12212241 | 105510125 | 545151121 | 4502320045 | 40120440401 |
素数
编辑- 六进制的测定倍数
- 如果第一位是0,则该数字“可以被2和3整除”的数字,即10(六)的倍数。
- 如果第一位是3,则该数字“不可以被2整除, 但是以被3整除”的数字。
- 如果第一位是2或4,则该数字“可以被2整除, 但是不可被3整除”的数字。
- 如果第一位是1或5,则该数字“不能除以2或3整除”的数字。11(七)之后的素数首先是1或5。
六进制对于研究素数是很有用的,因为所有的素数,除了2和3以外,个位数都是1或5。在六进制中,最初的几个素数为:
也就是说,对于所有除了2和3以外的素数 都有 或 。另外,除了6以外,所有的完全数在六进制中都以44结尾。
分数
编辑十进制 Prime factors of the base: 2, 5 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11 |
六进制 Prime factors of the base: 2, 3 Prime factors of one below the base: 5 Prime factors of one above the base: 11 | ||||
分数 | 分母 | Positional representation | Positional representation | 分母 | 分数 |
---|---|---|---|---|---|
1/2 | 2 | 0.5 | 0.3 | 2 | 1/2 |
1/3 | 3 | 0.3333... = 0.3 | 0.2 | 3 | 1/3 |
1/4 | 2 | 0.25 | 0.13 | 2 | 1/4 |
1/5 | 5 | 0.2 | 0.1111... = 0.1 | 5 | 1/5 |
1/6 | 2, 3 | 0.16 | 0.1 | 2, 3 | 1/10 |
1/7 | 7 | 0.142857 | 0.05 | 11 | 1/11 |
1/8 | 2 | 0.125 | 0.043 | 2 | 1/12 |
1/9 | 3 | 0.1 | 0.04 | 3 | 1/13 |
1/10 | 2, 5 | 0.1 | 0.03 | 2, 5 | 1/14 |
1/11 | 11 | 0.09 | 0.0313452421 | 15 | 1/15 |
1/12 | 2, 3 | 0.083 | 0.03 | 2, 3 | 1/20 |
1/13 | 13 | 0.076923 | 0.024340531215 | 21 | 1/21 |
1/14 | 2, 7 | 0.0714285 | 0.023 | 2, 11 | 1/22 |
1/15 | 3, 5 | 0.06 | 0.02 | 3, 5 | 1/23 |
1/16 | 2 | 0.0625 | 0.0213 | 2 | 1/24 |
1/17 | 17 | 0.0588235294117647 | 0.0204122453514331 | 25 | 1/25 |
1/18 | 2, 3 | 0.05 | 0.02 | 2, 3 | 1/30 |
1/19 | 19 | 0.052631578947368421 | 0.015211325 | 31 | 1/31 |
1/20 | 2, 5 | 0.05 | 0.014 | 2, 5 | 1/32 |
1/21 | 3, 7 | 0.047619 | 0.014 | 3, 11 | 1/33 |
1/22 | 2, 11 | 0.045 | 0.01345242103 | 2, 15 | 1/34 |
1/23 | 23 | 0.0434782608695652173913 | 0.01322030441 | 35 | 1/35 |
1/24 | 2, 3 | 0.0416 | 0.013 | 2, 3 | 1/40 |
1/25 | 5 | 0.04 | 0.01235 | 5 | 1/41 |
1/26 | 2, 13 | 0.0384615 | 0.0121502434053 | 2, 21 | 1/42 |
1/27 | 3 | 0.037 | 0.012 | 3 | 1/43 |
1/28 | 2, 7 | 0.03571428 | 0.0114 | 2, 11 | 1/44 |
1/29 | 29 | 0.0344827586206896551724137931 | 0.01124045443151 | 45 | 1/45 |
1/30 | 2, 3, 5 | 0.03 | 0.01 | 2, 3, 5 | 1/50 |
1/31 | 31 | 0.032258064516129 | 0.010545 | 51 | 1/51 |
1/32 | 2 | 0.03125 | 0.01043 | 2 | 1/52 |
1/33 | 3, 11 | 0.03 | 0.01031345242 | 3, 15 | 1/53 |
1/34 | 2, 17 | 0.02941176470588235 | 0.01020412245351433 | 2, 25 | 1/54 |
1/35 | 5, 7 | 0.0285714 | 0.01 | 5, 11 | 1/55 |
1/36 | 2, 3 | 0.027 | 0.01 | 2, 3 | 1/100 |
因为6是最小的两个素数2和3的乘积,许多六进制的小数都有简单的表示法:
十进制 | ||||||||||||||||
六进制 | ||||||||||||||||
六进制(小数) | 0.3 | 0.2 | 0.13 | 0.1 | 0.1 | 0.05 | 0.043 | 0.04 | 0.03 | 0.313452421 | 0.03 | 0.023 | 0.02 | 0.0213 | 0.02 | 0.014 |
六进制为2和3的同样的幂,因此很容易将它们分为2和3个除法。 2的幂的倒数变为3的幂,而3的幂的倒数变为2的幂。因而对于大多分母是3的幂的分数,六进制的表示形式更简短。
幂指数 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -10 | -11 | -12 | -13 | -14 |
2 | 0.3 | 0.13 | 0.043 | 0.0213 | 0.01043 | 0.003213 | 0.0014043 | 0.00050213 | 0.000231043 | 0.0001133213 |
3 | 0.2 | 0.04 | 0.012 | 0.0024 | 0.00052 | 0.000144 | 0.0000332 | 0.00001104 | 0.000002212 | 0.0000004424 |
指数法
编辑如果拳头0,因为六种类型从0到5的数目可以在一个手来表示,六进制是方便用手指计数。
在这种方法中,一只手位于一的位,另一只手位于六的位, 计数到55(五六五 = 十进制35),100(十进制36)会导致数字溢出。例如,左手“1”和右手“5”表示“六五”即“十一”(六进制15 =十进制11), 左手“4”和右手“3”表示“四六三”即“二十七”(六进制43 =十进制27)。
可以表示小数和假分数,如果一只手在"一"的位,另一只手在"六分之一"的位,则可以计算不超过5.5(5和5/6)的分数。 两位数的小数字的一只手放在"六分之一"的位,另一只手放在"三十六分之一"的位。例如,如果指示“44”,则除了“六进制44 = 十进制28”之外,还可以指示“4和2/3”(4和4/6 = 六进制4.4) 和“7/9”(十进制28/36 = 六进制0.44)。
用双手进行计数的十进制不能在15(十进制11)之后进行计数,并且可以分为2和5,但是不能分为3和4。但是,用双手计数的六进制最多可以计数55(十进制35),并且可以分为2和3,如果扩展为双手,则可以分为4和9(六进制13)。
三十六进制
编辑在某些场合下,六进制的底数6可能太小,不便于使用。此时,若讲底数6扩充至6的平方,也就是36就能缓解此问题,这个进制就是三十六进制。由于36是6的平方,因此在三十六进制中,一个位数等于六进制的两个位数。并且两者存在一个一对一的转换,也就是说六进制和三十六进制之间可以透过以下对照表转换来完成:
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
三十六进制 | 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H
|
十进制 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
六进制 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
三十六进制 | I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z
|
三十六进制使用0-9和A-Z的符号来表示数。由于约定俗成用于表示数的阿拉伯数字与拉丁字母恰好用完,因此36也是最后一个有约定俗成表示方法的进制底数,底数高于36的进制如三十七进制就会面临符号不够用的问题,目前没有公认的模式来表达底数37或以上的进制,部份文献会把各个位数以十进制表示,并用冒号(:)分隔[1]。
根据上表,例如三十六进制的数WIKIPEDIA(36)(这串英文字母组合的意义是维基百科)在六进制中表示为523032304122213014(6),可以观察到,开头的52对应到W、30对应到I,以此类推。这个数在十进制中是91,730,738,691,298。
参考资料
编辑- ^ Base Convert. [2024-06-26]. (原始内容存档于2021-07-20).
外部链接
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