切比雪夫不等式

機率論中的不等式

切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality），是概率论中的一个不等式，显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切比雪夫不等式对任何分布数据都适用。

切比雪夫不等式可表示为以下形式：对于任何随机变量 $X$ 和实数 $b>0$ ，都有 $P(|X-E(X)|\geq b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}$ ，其中 $E(X)$ 表示 $X$ 的数学期望， $Var(X)$ 为 $X$ 的方差。

概念

这个不等式以数量化这方式来描述，究竟“几乎所有”是多少，“接近”又有多接近：

与平均相差2个标准差以上的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差以上的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差以上的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差以上的值，数目不多于1/k²

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分或多于110分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。
公式： $P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$

推论

测度论说法

设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0，

\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .

一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}

概率论说法

设 $X$ 为随机变量，期望值为 $\mu$ ，标准差为 $\sigma$ 。对于任何实数k>0，

\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

\Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})

\Pr(X=0)=1-1/k^{2}

这个分布的标准差 $\sigma =1/k$ ， $\mu =0$ 。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 $1-1/k^{2}$ 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.

[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

证明

定义 $~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}$ ，设 $1_{A_{t}}$ 为集 $~A_{t}$ 的指示函数，有

0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,

g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有 $\Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a$ 。取 $Y=(X-\mu )^{2}$ 及 $a=(k\sigma )^{2}$ 。

亦可从概率论的原理和定义开始证明：

\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})

\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu  \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.

参见

参考来源

《基本统计学观念与应用二版》，林惠玲陈正仓著
《应用统计学第四版》修订版，林惠玲陈正仓著

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