柴比雪夫不等式

機率論中的不等式

柴比雪夫不等式（英語：Chebyshev's Inequality），是機率論中的一個不等式，顯示了隨機變量的「幾乎所有」值都會「接近」平均。在20世紀30年代至40年代刊行的書中，其被稱為比奈梅不等式（Bienaymé Inequality）或比奈梅-柴比雪夫不等式（Bienaymé-Chebyshev Inequality）。柴比雪夫不等式對任何分佈數據都適用。

柴比雪夫不等式可表示為以下形式：對於任何隨機變量 $X$ 和實數 $b>0$ ，都有 $P(|X-E(X)|\geq b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}$ ，其中 $E(X)$ 表示 $X$ 的數學期望值， $Var(X)$ 為 $X$ 的方差。

概念

這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個標準差以上的值，數目不多於1/4
與平均相差3個標準差以上的值，數目不多於1/9
與平均相差4個標準差以上的值，數目不多於1/16

……

與平均相差k個標準差以上的值，數目不多於1/k²

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分或多於110分（與平均相差3個標準差以上）的人，數目不多於4個（=36*1/9）。
公式： $P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$

推論

測度論說法

設(X,Σ,μ)為一測度空間，f為定義在X上的廣義實值可測函數。對於任意實數t > 0，

\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .

一般而言，若g是非負廣義實值可測函數，在f的定義域非降，則有

\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}

機率論說法

設 $X$ 為隨機變量，期望值為 $\mu$ ，標準差為 $\sigma$ 。對於任何實數k>0，

\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.

改進

一般而言，柴比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：

\Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})

\Pr(X=0)=1-1/k^{2}

這個分佈的標準差 $\sigma =1/k$ ， $\mu =0$ 。

對於任意分佈形態的數據，根據柴比雪夫不等式，至少有 $1-1/k^{2}$ 的數據落在k個標準差之內。其中k>1，但不一定是整數。

當只求其中一邊的值的時候，有Cantelli不等式：

\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.

[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

證明

定義 $~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}$ ，設 $1_{A_{t}}$ 為集 $~A_{t}$ 的指示函數，有

0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,

g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變量Y和正數a有 $\Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a$ 。取 $Y=(X-\mu )^{2}$ 及 $a=(k\sigma )^{2}$ 。

亦可從機率論的原理和定義開始證明：

\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})

\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu  \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.

參見

參考來源

《基本統計學觀念與應用二版》，林惠玲陳正倉著
《應用統計學第四版》修訂版，林惠玲陳正倉著

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