同调球面

数学的代数拓扑学中，同调球面是n维流形X，具有n-球面的同调群。在此n ≥ 1是整数。换言之，

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z)

对所有其他i，H_i(X,Z) = {0} .

因此X是一个连通空间，仅有一个非零的高阶贝蒂数b_n（除了 b₀=1 外）。

由于H_n(X,Z)非零，故X是紧致及可定向的。

当n > 1时，虽然H₁(X,Z) = {0}，不过并不表示X是单连通的，即X的基本群未必是平凡的，只表示其基本群是完满群。（参看Hurewicz定理）

有理同调球面的定义与上述类似，不过用有理系数的同调群代替。

庞加莱同调球面

庞加莱同调球面（又称为庞加莱十二面体空间）是同调球面的一个例子。庞加莱同调球面是球面3-流形（英语：spherical 3-manifold），因此基本群是有限的。同调3-球面中，除了3-球面之外，就只有庞加莱同调球面有有限基本群。它的基本群称为binary icosahedral group（英语：binary icosahedral group），这个群的目是120。

庞加莱在1900年猜想使用同调群就可以分辨3-流形是否3-球面，1904年他提出了这个反例，并引入了基本群概念证明他的反例不是球面，又将原来的猜想修改为庞加莱猜想。

构造法

庞加莱同调球面的一个简单构造法是使用正十二面体。将正十二面体的每个面与相对的另一面等同，将两个面用顺时针方向的最小“扭转”重合。这样黏合后得出的是闭3-流形。（参看用相似构造法及较大的“扭转”而成的Seifert–Weber space（英语：Seifert–Weber space），得出的是一个双曲3-流形。）

另一个得出庞加莱同调球面的方法，是用商空间SO(3)/I，此处 I 是二十面体群，就是正二十面体和正十二面体的旋转对称群，同构于交错群A₅。更直观地说，庞加莱同调球面就是正二十面体在三维欧几里得空间中，所有可从几何区别的位置所组成的空间。

性质

二重悬垂定理（英语：Double suspension theorem）指一个同调球面的二重悬垂是一个拓扑球面。

应用

若A是一个不同胚于3-球面的同调3-球面，则A的悬垂（英语：suspension (topology)）是一个4维同调流形，却不是拓扑流形。A的二重悬垂同胚于5-球面，但是从A的三角剖分（英语：Triangulation (topology)）诱导出来的三角剖分不是分片线性流形（英语：Piecewise linear manifold）。换言之，这给出了一个有限单纯复形例子，是拓扑流形，但不是分片线性流形，

Galewski－Stern证明了任何至少5维的（无边）紧流形都同胚于某单纯复形，若且唯若存在一个同调3-流形Σ，其Rokhlin不变量（英语：Rokhlin invariant）是1，使得它与自身的连通和Σ#Σ包围了一个光滑零调（acyclic）4-流形。2013年，Ciprian Manolescu证明了不存在这样的同调3-流形Σ。^[1]因此存在5-流形不同胚于单纯复形。特别地，Galewski－Stern原来给出的例子是不可三角剖分的。^[2]

参考

^ Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354  . To appear in Journal of the AMS.
^ D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350.

参看

Emmanuel Dror, Homology spheres, Israel Journal of Mathematics 15 (1973), 115–129. MR 0328926
David Galewski, Ronald Stern Classification of simplicial triangulations of topological manifolds, Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, pp. 1–34.
Robion Kirby, Martin Scharlemann, Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Academic Press, New York-London, 1979.
Michel Kervaire（英语：Michel Kervaire）, Smooth homology spheres and their fundamental groups, Transactions of the American Mathematical Society（英语：Transactions of the American Mathematical Society） 144 (1969) 67–72. MR 0253347
Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

外部链接

A 16-Vertex Triangulation of the Poincaré Homology 3-Sphere and Non-PL Spheres with Few Vertices （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Anders Björner and Frank H. Lutz
Lecture by David Gillman on The best picture of Poincare's homology sphere （页面存档备份，存于互联网档案馆）
A cosmic hall of mirrors （页面存档备份，存于互联网档案馆） - physicsworld (26 Sep 2005)

[1] Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354  . To appear in Journal of the AMS.

[2] D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350.

[1]

[2]