单子 (范畴论)
数学的分支范畴论中,单子(英语:monad),又称三元组(triple, triad)、标准构造(standard construction)、基本构造(fundamental construction)[1],是一个内函子(即由某范畴映到自身的函子),连同满足特定连贯条件的两个自然变换,三者构成的整体。单子用于研究互为伴随的函子对,并将偏序集上的闭包算子推广到任意范畴。
导论与定义
编辑单子是一类内函子(连同其他资讯)。例如,若 和 为一对伴随函子, 为 的左伴随,则复合 是单子。若 与 互为逆函子,则对应的单子是恒等函子。一般而言,伴随关系并不等同范畴的等价,而可以联系不同性质的范畴。为了探讨伴随关系所“保持”的性质,数学家研究单子论。理论的另一半,即藉考虑 ,以研究伴随关系,是单子论的对偶理论。该类函子称为馀单子(英语:comonad)。
严格定义
编辑本条目中, 皆表示某范畴。 上的单子是函子 ,连同两个自然变换,分别是单位 (其中 是 上的恒等函子)与乘法 (其中 是复合 ,亦是 到 的函子),且要满足下列连贯条件:
- (左右皆为 的自然变换)。此处 与 经水平复合而得。
- (两者皆为 的自然变换)。此处 表示由函子 到自身的恒等自然变换。
以上两式,亦可以下列交换图复述:
记号 与 的含义,参见自然变换,又或考虑以下更具体的写法,不用水平复合记号,并将各函子作用在任意物件 上:
定义中,若将 当成幺半群的乘法,则第一条公理类似幺半群的乘法结合律,而第二条公理类似单位元的存在性(由 给出)。准确而言, 上的单子,可以等价地定义为 的内函子范畴 中的幺半群。(该范畴的物件是 上的内函子,而态射是内函子间的自然变换,幺半结构来自内函子的复合运算。)如此,单子不仅在形式上具有与幺半群相似的公理,甚而单子就是幺半群的特例。
幂集单子
编辑幂集单子 是集合范畴 上的单子。其定义中,函子 取为幂集运算,即 为集合 的幂集,而对于函数 , 将 的子集映至其像集,即 。对每个集合 ,有函数 ,对每个元素 映至单元子集 , 并有函数
将 的若干个子集构成的族,映至该些子集的并集。以上是幂集单子的定义。
两个单子的复合,未必为单子。举例,幂集单子 的二次叠代 ,无法配备单子结构。[2]
馀单子
编辑取上节定义的范畴论对偶,便是馀单子(或馀三元组)的定义。简单复述,范畴 上的馀单子,是对偶范畴 上的单子。所以,馀单子是由 到 的某个函子 ,连同馀单位与馀乘法(英语:counit and comultiplication)两个自然变换,组成的整体,而三者所要满足的公理,是将原定义中所有态射反转方向而得。
单子之于幺半群,如同馀单子之于馀幺半群。每个集合皆是馀幺半群,且仅有唯一一种方式,所以抽象代数中,较少考虑馀幺半群。然而,在线性代数中,向量空间范畴(配备张量积)的馀幺半群较为重要,以馀代数之名为人所知。
历史
编辑此章节需要扩充:中文名称“单子”由来 |
单子的概念最早由罗杰·戈德芒于1958年提出[3],当时称为“标准构造”(英语:standard construction)。实际上,该书用到的是馀单子,用作解决某个层馀调问题。
其后,单子又出现于彼得·胡伯(Peter Huber)对范畴同伦的研究中。该论文包含由任意一对伴随函子得出单子的证明。[4]
1965年,海因里希·克莱斯利[5],及塞缪尔·艾伦伯格、约翰·柯曼·摩尔二人[6]分别独立证明反向的结论,即每个单子皆可由某对伴随函子产生。后一篇论文中,将单子称为“三元组”。
1963年,威廉·洛维尔提出泛代数的范畴论。1966年,弗雷德·林顿(Fred Linton)将该理论用单子的语言表达。[7]单子本身来自拓扑方面的考量,事先似乎比洛维尔的理论更难处理,但已成为用范畴论语言阐述泛代数的方法中,较常见的一个。现今常用的英文名称monad是1971年由桑德斯·麦克兰恩在《现职数学家用的范畴》引入,以其类似单子论中的同名哲学概念,即某种能生出其他所有事物的实体。
1980年代,欧金尼奥·莫吉在理论计算机科学中,利用单子,为电脑程式的若干方面建立模型,包括例外处理、边界情况。[8]此后,有多种函数式编程语言仔细实作此想法,作为一种基本规律,同样称为单子。2001年,若干数学家注意到,用单子研究程式标志语意的方法,与洛维尔的理论,两者之间有关联。[9]。此为代数与语义间的联系,是后来活跃的研究课题。
例子
编辑伴随的复合
编辑若有伴随关系
(即 为 的左伴随,下同),则由此有 上的单子。此普遍的构造,取内函子为复合
而单位自然变换来自伴随的单位 ,乘法自然变换源自伴随的馀单位 :
反之,给定单子,可以明确找回一对伴随函子,使单子为该对伴随函子的复合。此构造用到下节定义的 代数的艾伦伯格-摩尔范畴 。[10]
两重对偶
编辑给定域 ,双重对偶单子(英语:double dualisation monad)源自伴随关系
其中两个函子 皆将 向量空间 映至对偶空间 ,所以对应的单子将向量空间 映至双对偶 。Kock (1970)对此有更广泛的讨论。
偏序集的闭包算子
编辑偏序集 可以视为特殊的范畴,任意两件物件之间有最多一支态射,且 到 有态射当且仅当偏序中 。于是,偏序集之间的函子,即是保序映射,而伴随函子对,则组成两偏序集间的伽罗瓦连接,相应的单子是伽罗华连接的闭包算子。
自由遗忘伴随
编辑又举例,设 为群范畴 至集合范畴 的遗忘函子,将群映至其基集,又设 为自由函子,由 到 ,则 是 的左伴随。此时,对应的单子 的作用是,输入一个集合 ,输出自由群 的基集,即字母取自 ,且无相邻两个字母互为逆元的字串的集合。
该单子的单位变换,由包含映射
给出,该包含映射将 的任意元素,看成仅得一个字元的字串,从而是 的元素。最后,单子的乘法
是串接或“压平”运算,将若干条字串组成的串,映至该串中所有字串前后连接而成的一条字串。至此描述完单子的两个自然变换。
前述例子中,自由群可以推广至其他种类的代数结构,即泛代数意义下的任意一簇代数。如此,每类代数定义了集合范畴上的一个单子。更重要的是,该类代数的范畴,可从单子找回,即单子的艾伦伯格-摩尔代数范畴,故单子可视为泛代数之簇的推广。
另外,尚有一个单子源自伴随关系。在向量空间范畴 上,若 表示将向量空间 映至其张量代数 的内函子,则相应有单位自然变换将 嵌入到其张量代数,并有乘法自然变换,在 处的分量是态射 ,将张量积之张量积展开化简。
馀密度单子
编辑只要满足某些不强的条件,无左伴随的函子也可以产生单子,称为馀密度单子。例如,从有限集合范畴 到集合范畴 的包含函子无法配备左伴随,但其馀密度单子定义在 上,将任意集合 映至其上所有超滤子的集合 。 类似例子见于Leinster (2013)。
单子的代数
编辑给定范畴 上的单子 ,可以考虑 中的 代数物件。 在该些物件上的作用,与单子的单位与乘法相容。具体而言, 代数 是 中的物件 ,连同态射 (称为该代数的结构映射),使得图
及 |
皆可交换。
代数间的态射 是 中的态射 ,且要使
可交换。于是, 代数及之间的态射组成范畴,称为艾伦伯格-摩尔范畴(英语:Eilenberg–Moore category),记为 .
例子
编辑自由群单子上的代数
编辑若 为前述自由群单子,则 代数是集合 ,连同由 生成的自由群 到 的映射(求值,evaluation),且该映射要满足结合律与单位元的公理。换言之, 本身就具有群结构,而 至 的映射,是将字串按 的群乘法,计算所得的结果
分布单子上的代数
编辑另一个例子是集合范畴上的分布单子(英语:distribution monad) ,其将集合 映至其上所有有限支撑的概率分布的集合。该等分布,是函数 ,仅于有限多个元素 处取值非零,而各元素处取值之和为 。以符号表示,
可由定义证明,分布单子上的代数,等同于凸集,即集合要配备二元运算 (对每个 ),满足的公理比照欧氏空间中,凸组合 具备的性质。[11][12]
对称单子上的代数
编辑将 模 映到各阶对称张量幂的直和
其中 。例如, ,左右两边作为 模同构。如此,对称代数单子上的代数,是交换 代数。类似地,也有反对称张量单子 与全张量单子 ,相应的代数分别是反对称 代数与自由 代数,故
前者是 上添加 个生成元的自由反对称代数,而后者则是 个生成元的自由代数。
E∞环谱中的交换代数
编辑对于可交换 代数,亦有类似的构造,[13]:113对于可交换 代数 ,对应单子上的代数是可交换的 代数。若 表示 模的范畴,则可以考虑函子 ,定义为
其中
此函子是单子,而由该单子上的代数范畴,可以得到可交换 代数的范畴 。
单子与伴随
编辑如前文所述,任何伴随关系皆产生单子。反之,每个单子 皆可由某个伴随关系产生,即原范畴与 代数的艾伦伯格-摩尔范畴之间的自由-遗忘伴随
其中,左伴随 将 的物件 映到自由 代数 ,右伴随 则将 代数 遗忘掉 ,变回 。然而,通常有多组不同的伴随关系产生同样的单子,该些伴随关系组成范畴 :物件是伴随关系 使得 ,而态射是在 一侧为恒等函子的伴随关系态射。如此,艾伦伯格-摩尔范畴的自由-遗忘伴随 是 的终物件,而始物件是克莱斯利范畴 ,定义为 中的自由 代数组成的完全子范畴,即仅包含形如 的 代数,其中 历遍 的物件。
单子伴随
编辑设有伴随关系 ,对应单子为 ,则函子 可分解为
其中 是遗忘函子。换言之,对 中任意物件 ,都能赋予 自然的 代数结构。若分解式中,首个函子 给出 与 两范畴间的等价,则形容该伴随关系为单子的(英语:monadic)。[14]后亦引申用作形容函子,若函子 有左伴随 ,且该伴随关系为单子的,则 亦称为单子的。例如,群范畴与集合范畴间的自由-遗忘伴随是单子的,因为相应单子 上的 代数是群(见前文)。一般而言,若有伴随关系 为单子的,则单从 的物件及其上的 作用,已足以重组出 的物件。
贝克单子性定理
编辑贝克单子性定理给出伴随关系在何种充要条件下为单子的。定理有以下简化版:
若满足以下三项条件:
则 为单子的。
例如,由紧豪斯多夫空间范畴 到集合范畴 的遗忘函子是单子的。然而,由任意拓扑空间范畴 到集合范畴 的遗忘函子则并非单子的,而定理中,保守函子的条件不成立,因为有非紧或非豪斯多夫空间,之间存在连续双射,但不为同胚。[15] 贝克定理有对偶版本,刻划馀单子伴随关系,对拓扑斯论及有关下降的代数几何课题有用。
馀单子的伴随关系,首先有下列例子:
其中 皆为交换环,左伴随用到的张量积 的定义中,选定了环同态 ,而右伴随 是遗忘函子。根据贝克定理,当且仅当 为忠实平坦 模时,该伴随为馀单子的。所以,可将配备下降数据(英语:descent datum,即源自伴随关系的馀单子的作用)的 模,降成 模。所得的忠实平坦下降理论,广泛应用于代数几何。
用途
编辑函数式编程中,会使用单子表达某类(有时有副作用的)顺序式计算,见单子 (函数式编程)。
推广
编辑亦可定义2-范畴 中的单子。
参见
编辑- 单子间的分配律
- 洛维尔理论
- 单子 (函数式编程)——函数式编程中,用作构造通用类型的设计模式
- 多子 (范畴论)
- 强单子
参考文献
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