几何学中,截角八面体[1]是一种具有十四个面的半正多面体,属于阿基米德立体也是个平行多面体。由6个正方形和8个正六边形组成,共有1436以及24顶点[2]。因为每个面皆具点对称性质,因此截角八面体也是一种环带多面体。同时,因为它具有正方形和六边形面,因此也是一种戈德堡多面体,其戈德堡符号为GIV(1,1)。另外,由于截角八面体也是一种排列多面体英语permutohedron[3][4],因此可以独立填满整个三维空间[5],而由截角八面体堆成的图形称为截角八面体堆砌[6]

截角八面体
截角八面体
(按这里观看旋转模型)
类别半正多面体
对偶多面体四角化立方体在维基数据编辑
识别
名称截角八面体
参考索引U08, C20, W7
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
toe在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram

施莱夫利符号t0,1{3,4}
t0,1,2{3,3}
t{3,4}
tr{3,3}在维基数据编辑
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
2 4 | 3
3 3 2 |
康威表示法tO
bT在维基数据编辑
性质
14
36
顶点24
欧拉特征数F=14, E=36, V=24 (χ=2)
组成与布局
面的种类正方形
正六边形
面的布局
英语Face configuration
6个{4}
8个{6}
顶点图4.6.6
对称性
对称群Oh
and Th
特性
环带多面体
permutohedron
图像
立体图
4.6.6
顶点图

四角化立方体
对偶多面体

展开图

截角八面体的对偶多面体为四角化六面体。若截角八面体的边长为单位长,则其对偶多面体四角化六面体的边长会变成个单位长。

性质

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截角八面体仅具有点可递性质,也就是截角八面体每一个顶点相邻面的组成都是一样的,都是一个四边形和两个六边形的公共顶点。但截角八面体不具面可递和边可递性质,因为截角八面体有两种面,四边形和六边形,边也不可递,因为截角八面体并不是所有组成边的相邻面都只有一种,截角八面体共有两种棱,一种为六边形与六边形的公共棱、另一种为六边形与四边形的公共棱。

由于截角八面体仅具有点可递性质,因此只能算是均匀多面体[7]中的半正多面体,不具拟正多面体性质。但这个多面体是阿几米德研究的13种半正多面体之一,因此截角八面体也是一种阿基米德立体[8]

结构

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截角八面体可以从边长3a的正八面体切去六个底边长为a的四角锥构成。这些被切下来的棱锥体的底与侧面边长皆等长,因此其侧面皆为正三角形,底边长为a、底面积为a2,这些四角锥是正四角锥,是第一种詹森多面体,J1

这些被截下来的正四角锥其高h与斜高s为:

 
 

这些数据则确定能从正八面体构成截角八面体的截角切割深度。若太深则会变成截半八面体

 [9]

座标

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在(±2,±2,±2)范围内的平行投影 每个六边形面切割成六个正三角形产生了八个新的顶点,他们分别为(±1,±1,±1)的所有组合。

边长为2的平方根几何中心位于原点的截角八面体其顶点座标为(0, ±1, ±2)的所有排列。

体积与表面积

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截角立方体的体积 ,表面积 ,其中 是该截半立方体的边长[2]

表面积 =   
体积 =   

作法

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正八面体进行截角操作,也就是将正八面体的六个顶点切去并在被切掉的地方建立六个正方形面即可得到一个截角八面体

正交投影

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截角八面体的正交投影
建立于 顶点
4-6

6-6

正方形

正六边形
截角八面体          
四角化六面体          
投影
对称性
[2] [2] [2] [4] [6]

球面镶嵌

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正方形面为中心
 
正六边形面为中心
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

分割

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截角八面体可分割成正中央一个正八面体、其馀每个面切成8三角帐塔,剩馀的部分在分割成6个正四角锥[10]

亏格 2 亏格 3
D3d, [2+,6], (2*3), order 12 Td, [3,3], (*332), order 24
   

排列多面体

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截角八面体是一种排列多面体英语permutohedron[3][4],可以以更“对称”的形式表示:四维空间中,(1,2,3,4)所有排列的坐标在三维子空间 组成截角八面体。(对应的二维形状是正六边形:三维空间中,(1,2,3)所有排列的坐标在二维子空间 组成正六边形。)

 

相关多面体及镶嵌

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正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
                                               
               
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

堆砌

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截角八面体可独立密铺三维空间。
截角八面体堆砌

截角八面体可以独立填满整个三维空间,而这种由截角八面体堆砌出来的几何图形称为截角八面体堆砌

截角八面体堆砌三维空间内28个半正密铺之一,由截角八面体独立堆积而成,虽然他每个都全等、每皆等长,但其不能称为正密铺,因为虽然她只由一种胞,截角八面体组成,但是该胞不是正多面体,因此并非所有“面”皆全等,因此截角八面体堆砌只能称为半正堆砌。

其他堆砌
截角八面体堆砌 小斜方截半正方体堆砌 截角交错立方体堆砌
     
过截角超方形
                  ...
过截角立方体 过截角超立方体 过截角五维超立方体 过截角六维超立方体英语Bitruncated 6-cube 过截角七维超立方体英语Bitruncated 7-cube 过截角八维超立方体英语Bitruncated 8-cube
                                                                 

参见

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参考文献

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  1. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. (英语) 
  3. ^ 3.0 3.1 庄宛臻. Type B 的排列多面體. 应用数学系. 高雄大学. 2010-07-03 [2016-01-30]. (原始内容存档于2016-01-30). 
  4. ^ 4.0 4.1 Cayley graph of S4. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995).
  5. ^ Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-01-14).  外部链接存在于|publisher= (帮助)
  6. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  7. ^ Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-09-11). 
  8. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  9. ^ Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. (原始内容存档于2006-08-22).  外部链接存在于|publisher= (帮助)
  10. ^ Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30]. (原始内容存档于2016-02-04). 
  • Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025. 
  • Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7. 
  • Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

外部链接

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