打靶法

打靶法（英语：Shooting method）是数值分析中在求解边界值问题时，将解归约为求解数个初值问题的方法。下面的讨论在打靶法的解释中有详细注释。

对于一个二阶常微分方程的边界值问题，该方法表述如下： 令

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}$

为边界值问题。 令 y(t₁; a) 代表下列初值问题的一个解

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a$

定义函数F(a)为y(t₁; a)和给定边界值y₁的差

$F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}\,$

若边界值问题有解，则F有一个根，而这个根就是y'(t₀)的给出边界问题解y(t)的取值。

上述问题的求解可以采用通常的求根方法，例如二分法或者牛顿法。

线性打靶法

边界值问题是线性的，若f形为

$f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).\,$

这个情况下，边界值问题的解通常给出为

$y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)$

其中$y_{(1)}(t)$是下面的初值问题的一个解

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=0,$

而$y_{(2)}(t)$是下面的初值问题的解：

$y''(t)=p(t)y'(t)+q(t)y(t),\quad y(t_{0})=0,\quad y'(t_{0})=1.$

结果成立的精确条件请参看证明。

例子

Stoer及Burlisch曾提出一个如下的边界值问题（Section 7.3.1）

$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w(1)=1$

以下的初值问题

$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s$

在s = −1, −2, −3, ..., −100等条件下求解，且令F(s) = w(1;s) − 1，其图形绘制在第一图中，根据图中可知，其解接近−8及−36。 第二图绘出一些w(t;s)的轨迹。

初值问题的解是由LSODE演算法计算，利用数学软体GNU Octave实现。

Stoer及Bulirsch列出有二个解，可以用代数法求解。 对应初始条件约w′(0) = −8及 and w′(0) = −35.9时的值。

F(s) = w(1;s) − 1.

w(t;s)的轨迹，s = w'(0)等于−7, −8, −10, −36及−40（颜色分别是红、绿、蓝、浅蓝、洋红），(1,1)有绘制一红色的菱形。

参考

• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 7.3.)