打靶法(英语:Shooting method)是数值分析中在求解边界值问题时,将解归约为求解数个初值问题的方法。下面的讨论在打靶法的解释中有详细注释。
对于一个二阶常微分方程的边界值问题,该方法表述如下:
令
为边界值问题。
令 y(t1; a) 代表下列初值问题的一个解
定义函数F(a)为y(t1; a)和给定边界值y1的差
若边界值问题有解,则F有一个根,而这个根就是y'(t0)的给出边界问题解y(t)的取值。
上述问题的求解可以采用通常的求根方法,例如二分法或者牛顿法。
边界值问题是线性的,若f形为
-
这个情况下,边界值问题的解通常给出为
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其中 是下面的初值问题的一个解
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而 是下面的初值问题的解:
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结果成立的精确条件请参看证明。
Stoer及Burlisch曾提出一个如下的边界值问题(Section 7.3.1)
-
以下的初值问题
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在s = −1, −2, −3, ..., −100等条件下求解,且令F(s) = w(1;s) − 1,其图形绘制在第一图中,根据图中可知,其解接近−8及−36。
第二图绘出一些w(t;s)的轨迹。
初值问题的解是由LSODE算法计算,利用数学软件GNU Octave实现。
Stoer及Bulirsch列出有二个解,可以用代数法求解。
对应初始条件约w′(0) = −8及 and w′(0) = −35.9时的值。
- Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 7.3.)