未解决的数学问题

以下列出了一些目前在数学领域中的未解决的问题：

千禧年大奖难题

在克雷数学研究所悬赏设立的七个千禧年大奖难题中，仍未被解决的六个题目是：

• 复杂度类P对NP问题（理论信息学：计算复杂度）
• 霍奇猜想（代数几何）
• 黎曼猜想（素数）
• 杨-米尔斯存在性与质量间隙（量子场论）
• 纳维-斯托克斯存在性与光滑性（计算流体力学）
• 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（代数）

其它未解问题

参见：数学猜想列表

堆垒数论

• 哥德巴赫猜想
• 华林问题中的$g(k)$和$G(k)$的值
• 考拉兹猜想（$3n+1$ 猜想、角谷猜想）
• 吉尔布雷斯猜想

数论：素数

• 是否存在无穷多个孪生素数
• 是否存在无穷多个四胞胎质数
• 是否存在无穷多个三胞胎质数
• 是否存在无穷多个x²+1素数
• 是否存在无穷多个表兄弟素数
• 是否存在无穷多个六质数
• 是否存在无穷多个梅森素数（OEIS中的数列OEIS:A000668，Lenstra-Pomerance-Wagstaff猜想）；此问题的等价问题是，是否存在无穷多个偶完全数
• 是否存在无穷多个规则素数，且其分布密度是$e^{-^{1}\!/_{2}}$
• 是否存在无穷多个卡伦素数（OEIS中的数列OEIS:A005849）
• 是否存在无穷多个胡道尔素数（OEIS中的数列OEIS:A050918）
• 以10为基数时是否存在无穷多个回文素数（OEIS中的数列OEIS:A002385）
• 当$n>4$时，是否每个费马数（OEIS中的数列OEIS:A000215）都是合数？
• 78,557是否是最小的谢尔宾斯基数（OEIS中的数列OEIS:A076336）？
• 509,203是否是最小的黎瑟尔数（OEIS中的数列OEIS:A101036）？
• 是否存在无穷多个欧几里得数为素数
• 波利尼亚克猜想

普通数论

• abc猜想
• 是否存在奇完全数（OEIS中的数列OEIS:A000396）？
• 是否存在拟完全数（quasi-perfect number）？
• 是否存在奇的奇异数（weird number）？
• 证明196是利克瑞尔数
• 证明10是个孤独数（solitary number）（OEIS中的数列OEIS:A095739）
• 对任意给定的$n$，幸福结局问题的解法
• 连续统假设
• 是否存在完美长方体

拉姆齐理论

• 拉姆齐数的值，特别是$R(5,5)$
• 范·德·华登数的值

普通代数

• 希尔伯特第16问题
• 阿达马猜想
• 是否存在完美长方体

组合数学

• 幻方（OEIS数列A006052）的数目
• 通过随机选择的两个元素产生对称群$S_{n}$的概率的公式
• 埃尔德什等差数列猜想
• 对于长度为任意自然数n的字串，其最小超排列的长度。

图论

• 艾狄胥-贾法斯猜想
• 图的同构问题
• 关于单位距离的图的色数的Hadwiger-Nelson问题
• 为逾渗阈值得到一种闭式表达式，特别是$p_{c}$（二维方格模型）

分析

• 高斯圆问题
• 沙努尔猜想
• 雷默猜想
• Pompeiu问题
• $\pi \pm e\,$、$\pi ^{e}\,$、$\ln(\pi )$、$2^{e}\,$、欧拉-马歇罗尼常数$\gamma \$、卡塔兰常数$G$等是否为无理数，或者甚至是超越数。

群论

• 每个被有限表达的周期群是否都是有限的？
• 逆伽罗瓦问题

其它

• 普遍化的星号嵌套深度问题
• 不变子空间问题
• 黑洞归并的建模

近期已获解的问题

年度	问题	解决者	备注
1977年	四色定理	肯尼斯·阿佩尔 沃尔夫冈·哈肯	第一个主要由电脑验证成立的数学定理 法兰西斯·古德里在1852年提出此猜想
1985年	比贝尔巴赫猜想	Louis de Branges de Bourcia	比贝尔巴赫于1916年提出此猜想
1995年	费马最后定理	安德鲁·怀尔斯	费马于1637年提出此猜想
1996年	波戈莫洛夫猜想	Emmanuel Ullmo 张寿武
1996年	远阿贝尔几何中的格罗滕迪克猜想	望月新一
1998年	克卜勒猜想	托马斯·黑尔斯	约翰内斯·克卜勒在1611年提出此猜想
1999年	函数域的朗兰兹纲领	洛朗·拉福格
1999年	蜂窝猜想	托马斯·黑尔斯	马库斯·特伦提乌斯·瓦罗于西元前36年首次提出此猜想
2001年	谷山－志村定理	安德鲁·怀尔斯 克里斯多福·布勒伊 布莱恩·康莱德 佛瑞德·戴蒙德 理查·泰勒	谷山丰与志村五郎于1955年提出此猜想
2001年	加藤猜想	Pascal Auscher Steve Hofmann Michael Lacey Alan McIntosh Philippe Tchamitchian	加藤敏夫在1953年提出此猜想
2002年	卡塔兰猜想	普雷达·米哈伊列斯库	欧仁·查理·卡塔兰在1844年提出此猜想
2002年	庞加莱猜想	格里戈里·佩雷尔曼	千禧年大奖难题 庞加莱于1904年提出此猜想
2003年	米尔诺猜想	符拉基米尔·弗沃特斯基	约翰·米尔诺于1970年提出此猜想
2003年	永田猜想	Ualbai U. Umirbaev Ivan P. Shestakov	永田雅宜于1972年提出此猜想
2004年	史坦利-威夫猜想	Gabor Tardos Adam Marcus
2004年	格林-陶定理	本·格林 陶哲轩
2006年	天使问题	布莱恩·鲍迪奇 Oddvar Kloster András Máthé Péter Gács
2007年	道路著色问题	艾夫拉汉·特雷特曼（Avraham Trahtman）
2009年	阿蒂亚猜想	Tim Austin
2011年	汉娜·诺伊曼猜想	伊戈尔·米涅耶夫（Igor Mineyev） 乔尔·弗里德曼（Joel Friedman）	汉娜·诺伊曼于1957年提出此猜想
2012年	威尔莫猜想	费尔南多·科达·马克斯 安德烈·内维斯
2012年	Virtual哈肯猜想	伊安·阿戈尔 Daniel Groves Jason Manning
2013年	弱哥德巴赫猜想	哈洛德·贺欧夫各特 大卫·普拉特
2015年	埃尔德什差异问题	陶哲轩	保罗·埃尔德什在1932年提出此猜想
2017年	五边形镶嵌	Michaël Rao

参考文献

• 克雷研究院千禧年大奖
• MathWorld的待解问题页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Winkelmann, Jörg，“一些数学问题 （页面存档备份，存于互联网档案馆）”2006年3月9日
• 到未解的数学问题的链接列表、奖金和研究

讨论待解题目的书籍

• Fan Chung; Ron Graham. Erdos对图论的贡献：其未解问题的遗产. AK Peters. 1999. ISBN 978-1-56881-111-6. 
• Hallard T. Croft; Kenneth J. Falconer; Richard K. Guy. 几何学中的未解问题. Springer. 1994. ISBN 978-0-387-97506-1. 
• Richard K. Guy. 数论中的未解问题. Springer. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. 
• Victor Klee; Stan Wagon. 平面几何和数论领域旧的和新的未解问题. 美国数学协会. 1996. ISBN 978-0-88385-315-3. 

讨论近期获解题目的书籍

• Simon Singh. 费马最后定理. Fourth Estate. 2002. ISBN 978-1-84115-791-7. 

参见

• 希尔伯特的23个问题
• 分类:数学中未解决的问题