毕奥-萨伐尔定律
在静磁学里,必欧-沙伐定律(Biot-Savart Law)以方程式描述,电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似,当电流缓慢地随时间而改变时(例如当载流导线缓慢地移动时),这定律成立,磁场与电流的大小、方向、距离有关[1]。必欧-沙伐定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥与菲利克斯·沙伐命名。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Jbiot.jpg/200px-Jbiot.jpg)
必欧-沙伐定律表明,假设源位置为的微小线元素有电流,则作用于场位置的磁场为
- ;
其中,是微小磁场(这篇文章简称磁通量密度为磁场),是磁常数。
已知电流密度,则有:
- ;
其中,为微小体积元素,是积分的体积。
概念
编辑必欧-沙伐定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷,电流量不随时间而改变,电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制,用方程式表示,
- ;
其中, 是源电流, 是积分路径, 是源电流的微小线元素。
应用这方程式,必须先选出磁场的场位置。固定这场位置,积分于源电流的路径,就可以计算出在场位置的磁场。请注意,这定律的应用,隐性地依赖著磁场的叠加原理成立;也就是说,每一个微小线段的电流所产生的磁场,其向量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场,叠加原理成立,因为它们是一组线性微分方程式的解答。更明确地说,它们是马克士威方程组的解答。
当电流可以近似为流过无穷细狭导线,上述这方程式是正确的。但假若导线是宽厚的,则可用包含导线体积 的积分方程式:
- ;
其中, 是电流密度, 是微小体积元素。
必欧-沙伐定律是静磁学的基本定律,在静磁学的地位,类同于库仑定律之于静电学。必欧-沙伐定律和安培定律的关系,则如库仑定律之于高斯定律。
假若无法采用静磁近似,例如当电流随著时间变化太快,或当导线快速地移动时,就不能使用必欧-沙伐定律,必须改用杰斐缅柯方程式。
等速运动的点电荷所产生的电场和磁场
编辑由于点电荷的运动不能形成电流,所以,必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷 以等速度 移动,在时间 的位置为 。那么,麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场:
- 、
- ;
其中, 是 和 之间的夹角。
当 时,电场和磁场可以近似为
- 、
- 。
安培定律和高斯磁定律的导引
编辑这里,我们要从必欧-沙伐定律推导出安培定律和高斯磁定律[1][2]。若想查阅此证明,请点选“显示”。
证明必欧-沙伐定律所计算出来的磁场,永远满足高斯磁定律: 首先,列出必欧-沙伐定律, - 。
应用一个向量恒等式,
- ,
将这恒等式带入必欧-沙伐方程式。由于梯度只作用于无单撇号的坐标,可以将梯度移到积分外:
- 。
应用一个向量恒等式,
- 。
所以,高斯磁定律成立:
- 。
参阅
编辑参考文献
编辑- ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
- 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義II(2)介電質、磁與感應定律. 台湾: 天下文化书. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.