环面曲线

环面曲线（toric section）是平面和环面相交形成的曲线，正如圆锥曲线是圆锥面和平面相交而成的。其方程为：

伯努利双纽线的外形如∞

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0$

它们都是四次曲线。

伯努利双纽线

伯努利双纽线（Lemniscate of Bernoulli）的方程为

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$

求双纽线的弧长需要应用椭圆积分。双纽线可视为双曲线的反演变换，反演圆心在双曲线的中心。

卡西尼卵形线

卡西尼卵形线

取两个定点$Q_{1},Q_{2}$为焦点。卡西尼卵形线（Cassini oval）是所有这样的点P的轨迹：$P$和焦点的距离的积为常数（这类似椭圆的定义——点$P$和焦点的距离的和为常数）。即$d(P,Q_{1})\times d(P,Q_{2})=b^{2}$。

在直角坐标系，若焦点分别在$(a,0)$和$(-a,0)$，卵形线的方程可写成：

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}$

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}$

$(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}$

在极坐标系：

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}$

卵形线经过反演变换，依然是卵形线。

卵形线的形状由$b/a$的值决定。若$b/a>1$，轨迹是一个封闭的圈。若$b/a<1$，轨迹是两个封闭的圈。若$b/a=1$，轨迹为伯努利双纽线。

Hippopede曲线

Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲线（或Hippopede of Proclus）的极坐标方程为：

$r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\theta )$

直角坐标系：

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}$

当$b=2a$，Hippopede曲线为伯努利双纽线。