環面曲線(toric section)是平面環面相交形成的曲線,正如圓錐曲線圓錐面和平面相交而成的。其方程為:

伯努利雙紐線的外形如∞

它們都是四次曲線。

伯努利雙紐線

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伯努利雙紐線(Lemniscate of Bernoulli)的方程為

 

求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線反演變換,反演圓心在双曲线的中心。

卡西尼卵形線

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卡西尼卵形線

取兩個定點 為焦點。卡西尼卵形線(Cassini oval)是所有這樣的點P的軌跡: 和焦點的距離的為常數(這類似橢圓的定義——點 和焦點的距離的為常數)。即 

直角坐標系,若焦點分別在  ,卵形線的方程可寫成:

 
 
 

極坐標系

 

卵形線經過反演變換,依然是卵形線。

卵形線的形狀由 的值決定。若 ,軌跡是一個封閉的圈。若 ,軌跡是兩個封閉的圈。若 ,軌跡為伯努利雙紐線。

Hippopede曲線

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Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
 
Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲線(或Hippopede of Proclus)的極坐標方程為:

 

直角坐標系:

 

 ,Hippopede曲線為伯努利雙紐線。