環面曲線(toric section)是平面和環面相交形成的曲線,正如圓錐曲線是圓錐面和平面相交而成的。其方程為:
伯努利雙紐線的外形如∞
![{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01694f18e1f331e3daf3a9a05f4796ca823fbd2a)
它們都是四次曲線。
伯努利雙紐線(Lemniscate of Bernoulli)的方程為
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求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線的反演變換,反演圓心在双曲线的中心。
卡西尼卵形線
取兩個定點 為焦點。卡西尼卵形線(Cassini oval)是所有這樣的點P的軌跡: 和焦點的距離的積為常數(這類似橢圓的定義——點 和焦點的距離的和為常數)。即 。
在直角坐標系,若焦點分別在 和 ,卵形線的方程可寫成:
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在極坐標系:
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卵形線經過反演變換,依然是卵形線。
卵形線的形狀由 的值決定。若 ,軌跡是一個封閉的圈。若 ,軌跡是兩個封閉的圈。若 ,軌跡為伯努利雙紐線。
Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopede曲線(或Hippopede of Proclus)的極坐標方程為:
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直角坐標系:
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當 ,Hippopede曲線為伯努利雙紐線。