此条目页的主题是物理量。关于电路元件,请见“
电感元件 ”。
电感 (Inductance )是闭合回路 的一种属性,即当通过闭合回路的电流 改变时,会出现电动势 来抵抗电流的改变。如果这种现象出现在自身回路中,那么这种电感称为自感 (self-inductance ),是闭合回路自己本身的属性。假设一个闭合回路的电流改变,由于感应作用在另外一个闭合回路中产生电动势,这种电感称为互感 (mutual inductance )。电感以方程式表达为
E
=
−
L
d
i
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-L{\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}
;
其中,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
是电动势,
L
{\displaystyle L}
是电感,
i
{\displaystyle i}
是电流,
t
{\displaystyle t}
是时间。
术语“电感”是1886年由奥利弗·黑维塞 命名[ 1] 。通常自感是以字母“L”标记,以纪念物理学家海因里希·楞次 [ 2] [ 3] 。互感是以字母“M”标记,是其英文(Mutual Inductance)的第一个字母。采用国际单位制 ,电感的单位是亨利 (Henry),标记为“H”,以纪念科学家约瑟·亨利 。与其他物理量的关系:一亨利等同一韦伯 除以一安培 (1 H = 1 Wb/A)。
电感器 是专门用在电路 里实现电感的电路元件 。螺线管 是一种简单的电感器,指的是多重卷绕的导线(称为“线圈”),内部可以是空心的,或者有一个金属芯。螺线管 的电感是自感。变压器 是两个耦合的线圈形成的电感器,由于具有互感属性,是一种基本磁路 元件。在电路图中电感的电路符号多半以L开头,例如,L01、L02、L100、L201等。
应用马克士威方程组 ,可以计算出电感。很多重要案例,经过简化程序后,可以被解析。当涉及高频率 电流和伴随的集肤效应 ,经过解析拉普拉斯方程式 ,可以得到面电流密度 与磁场 。假设导体是纤细导线,自感仍旧跟导线半径、内部电流分布有关。假若导线半径超小于其它长度尺寸,则这电流分布可以近似为常数(在导线的表面或体积内部)。
流动于闭合回路的含时电流所产生的含时磁通量,会促使闭合回路本身出现感应电动势。
如右图所示,流动于闭合回路的含时电流
i
(
t
)
{\displaystyle i(t)}
所产生的含时磁通量
Φ
(
i
)
{\displaystyle \Phi (i)}
,根据法拉第电磁感应定律 ,会促使闭合回路本身出现感应电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
:
E
=
−
N
d
Φ
d
t
=
−
N
d
Φ
d
i
d
i
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} t}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} i}\ {\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}
;
其中,
N
{\displaystyle N}
是闭合回路的卷绕匝数。
设定电感
L
{\displaystyle L}
为
L
=
N
d
Φ
d
i
{\displaystyle L=N{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}}
。
则感应电动势与含时电流之间的关系为
E
=
−
L
d
i
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-L{\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}
。
由此可知,一个典型的电感元件中,在其几何与物理特性都固定的状况下,产生的电压
v
{\displaystyle v}
为:
v
=
L
d
i
d
t
{\displaystyle v=L{{\mathrm {d} i} \over \mathrm {d} t}}
。
电感的作用是抵抗电流的变化,但是这种作用与电阻 阻碍电流的流动是有区别的。电阻阻碍电流的流动的特征是消耗电能 ,而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加;当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能,当电流增加时它会将能量 以磁场 的形式暂时储存起来,等到电流减小时它又会将磁场的能量释放出来,其效应就是抵抗电流的变化。
图上方,闭合回路1的含时电流
i
1
(
t
)
{\displaystyle i_{1}(t)}
所产生的含时磁通量,会促使闭合回路2出现感应电动势
E
2
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}
。图下方,闭合回路2的含时电流
i
2
(
t
)
{\displaystyle i_{2}(t)}
所产生的含时磁通量,会促使闭合回路1出现感应电动势
E
1
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}
。
如右图所示,流动于闭合回路1的含时电流
i
1
(
t
)
{\displaystyle i_{1}(t)}
,会产生磁通量
Φ
2
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{2}(t)}
穿过闭合回路2,促使闭合回路2出现感应电动势
E
2
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}
。穿过闭合回路2的磁通量和流动于闭合回路1的含时电流,有线性关系 ,称为互感
M
21
{\displaystyle M_{21}}
,以方程式表达为。
Φ
2
=
M
21
i
1
{\displaystyle \Phi _{2}=M_{21}i_{1}}
。
计算互感,可使用纽曼公式 (Neumann formula ):
M
21
=
μ
0
4
π
∮
C
1
∮
C
2
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
2
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle M_{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
;
其中,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是磁常数 ,
C
1
{\displaystyle \mathbb {C} _{1}}
是闭合回路1,
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} _{2}}
是闭合回路2,
X
1
{\displaystyle \mathbf {X} _{1}}
是微小线元素
d
ℓ
1
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}
的位置,
X
2
{\displaystyle \mathbf {X} _{2}}
是微小线元素
d
ℓ
2
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}
的位置。
由此公式可见,两个线圈之间互感相同:
M
12
=
M
21
{\displaystyle M_{12}=M_{21}}
,且互感是由两个线圈的形状、尺寸和相对位置而确定。
穿过闭合回路2的磁通量
Φ
2
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{2}(t)}
为
Φ
2
(
t
)
=
∫
S
2
B
1
(
X
2
,
t
)
⋅
d
a
2
{\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}\mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}
;
其中,
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}
是边缘为
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} _{2}}
的任意曲面,
d
a
2
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}
是微小面元素。
改用磁向量势
A
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}}
计算:
B
1
(
X
2
,
t
)
=
∇
2
×
A
1
(
X
2
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)=\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}
;
其中,
∇
2
{\displaystyle \nabla _{2}}
是对于变向量
X
2
{\displaystyle \mathbf {X} _{2}}
的偏微分。
应用斯托克斯公式 ,可以得到
Φ
2
(
t
)
=
∫
S
2
[
∇
2
×
A
1
(
X
2
,
t
)
]
⋅
d
a
2
=
∮
C
2
A
1
(
X
2
,
t
)
⋅
d
ℓ
2
{\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}[\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)]\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}=\oint _{\mathbb {C} _{2}}\mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}
。
磁向量势
A
1
(
X
2
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}
的定义式为
A
1
(
X
2
,
t
)
=
d
e
f
μ
0
i
1
4
π
∮
C
1
d
ℓ
1
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
。
磁通量与流动于闭合回路1
C
1
{\displaystyle \mathbb {C} _{1}}
的电流
i
1
{\displaystyle i_{1}}
的关系式为
Φ
2
(
t
)
=
μ
0
i
1
4
π
∮
C
1
∮
C
2
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
2
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle \Phi _{2}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
。
所以,互感为
M
21
=
d
Φ
2
d
i
1
=
μ
0
4
π
∮
C
1
∮
C
2
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
2
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle M_{21}={\frac {\mathrm {d} \Phi _{2}}{\mathrm {d} i_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
。
这方程式称为纽曼公式 (Neumann formula )。注意到对换闭合回路
C
1
{\displaystyle \mathbb {C} _{1}}
与
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} _{2}}
不会改变结果,
M
21
=
M
12
{\displaystyle M_{21}=M_{12}}
,因此,可以以变数
M
{\displaystyle M}
统一代表。
类似地,穿过闭合回路1的磁通量
Φ
1
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{1}(t)}
为
Φ
1
(
t
)
=
μ
0
i
1
4
π
∮
C
1
∮
C
1
′
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
1
′
|
X
1
−
X
1
′
|
{\displaystyle \Phi _{1}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} '_{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'_{1}}{|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} '_{1}|}}}
。
除去所有下标,令
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '}
代表同一闭合回路,自感以方程式表示为
L
=
d
Φ
d
i
=
μ
0
4
π
∮
C
∮
C
′
d
ℓ
⋅
d
ℓ
′
|
X
−
X
′
|
{\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} }\oint _{\mathbb {C} '}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}{|\mathbf {X} -\mathbf {X} '|}}}
。
当
X
1
=
X
1
′
{\displaystyle \mathbf {X} _{1}=\mathbf {X} '_{1}}
时,这积分可能会发散 ,需要特别加以处理。另外,若假设闭合回路为无穷细小,则在闭合回路附近,磁场会变得无穷大,磁通量也会变得无穷大,所以,必须给予闭合回路有限尺寸,设定其截面半径
r
0
{\displaystyle r_{0}}
超小于径长
ℓ
0
{\displaystyle \ell _{0}}
,
有很多种方法可以化解这困难。例如,令
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
为闭合回路的中心曲轴,令
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '}
为闭合回路的表面,则
X
1
≠
X
1
′
{\displaystyle \mathbf {X} _{1}\neq \mathbf {X} '_{1}}
,这积分就不会发散了[ 4] 。
耦合系数 为描述电感之间互感量与自感量的相对大小,两电感器的耦合系数定义为
k
=
M
L
1
L
2
{\displaystyle k={\frac {M}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}
;
其中
k
{\displaystyle k}
为耦合系数,无单位;
M
{\displaystyle M}
为两电感的互感值,
L
1
,
L
2
{\displaystyle L_{1},L_{2}}
分别为两电感器的自感值。
将前面论述加以推广,思考
K
{\displaystyle K}
条闭合回路,设定第
k
{\displaystyle k}
条闭合回路的卷绕匝数为
N
k
{\displaystyle N_{k}}
,载有电流
i
k
{\displaystyle i_{k}}
,则其磁链
N
k
Φ
k
{\displaystyle N_{k}\Phi _{k}}
为
N
k
Φ
k
=
∑
n
=
1
K
L
k
,
n
i
n
{\displaystyle N_{k}\Phi _{k}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}}
;
其中,
Φ
k
{\displaystyle \Phi _{k}}
是穿过第
k
{\displaystyle k}
条闭合回路的磁通量,
L
k
,
k
=
L
k
{\displaystyle L_{k,k}=L_{k}}
是自感,
L
k
,
n
=
M
k
,
n
,
k
≠
n
{\displaystyle L_{k,n}=M_{k,n},k\neq n}
是互感。
由于第
n
{\displaystyle n}
条闭合回路对于磁通量
Φ
k
{\displaystyle \Phi _{k}}
的总贡献是卷绕匝数乘以电流,即
N
n
i
n
{\displaystyle N_{n}i_{n}}
,所以,
L
k
,
n
{\displaystyle L_{k,n}}
与乘积
N
k
N
n
{\displaystyle N_{k}N_{n}}
成正比。
从法拉第电磁感应定律,可以得到
v
k
=
−
E
k
=
N
k
d
Φ
k
d
t
=
∑
n
=
1
K
L
k
,
n
d
i
n
d
t
=
L
k
d
i
k
d
t
+
∑
n
=
1
,
n
≠
k
K
M
k
,
n
d
i
n
d
t
{\displaystyle v_{k}=-{\mathcal {E}}_{k}=N_{k}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}=L_{k}{\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{n=1,\ n\neq k}^{K}M_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
v
k
{\displaystyle v_{k}}
是第
k
{\displaystyle k}
条闭合回路的感应电压。
第
k
{\displaystyle k}
条闭合回路的电功率
p
k
{\displaystyle p_{k}}
为
p
k
=
i
k
v
k
{\displaystyle p_{k}=i_{k}v_{k}}
。
假设原先所有电流为零,即
i
1
=
i
2
=
⋯
=
i
K
=
0
{\displaystyle i_{1}=i_{2}=\dots =i_{K}=0}
,
储存于所有闭合回路的总磁能为
0
{\displaystyle 0}
。现在,将第一条闭合回路的电流
i
1
{\displaystyle i_{1}}
平滑地从
0
{\displaystyle 0}
增加到
I
1
{\displaystyle I_{1}}
,同时保持其它闭合回路的电流不变,则储存于第一条闭合回路的磁能
W
1
{\displaystyle W_{1}}
为
W
1
=
∫
i
1
v
1
d
t
=
∫
0
I
1
i
1
L
1
d
i
1
=
1
2
L
1
I
1
2
{\displaystyle W_{1}=\int i_{1}v_{1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{1}}i_{1}L_{1}\mathrm {d} i_{1}={\frac {1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}}
。
然后,将第二条闭合回路的电流
i
2
{\displaystyle i_{2}}
平滑地从
0
{\displaystyle 0}
增加到
I
2
{\displaystyle I_{2}}
,同时保持其它闭合回路的电流不变,则储存于第二条闭合回路的磁能
W
2
{\displaystyle W_{2}}
为
W
2
=
∫
i
2
v
2
d
t
=
∫
0
I
2
i
2
L
2
d
i
2
+
∫
0
I
2
I
1
M
1
,
2
d
i
2
=
1
2
L
2
I
2
2
+
M
1
,
2
I
1
I
2
{\displaystyle W_{2}=\int i_{2}v_{2}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{2}}i_{2}L_{2}\mathrm {d} i_{2}+\int _{0}^{I_{2}}I_{1}M_{1,2}\mathrm {d} i_{2}={\frac {1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+M_{1,2}I_{1}I_{2}}
。
案照这方法继续地计算,储存于第
k
{\displaystyle k}
条闭合回路的磁能
W
k
{\displaystyle W_{k}}
为
W
k
=
∫
i
k
v
k
d
t
=
∫
0
I
k
i
k
L
k
d
i
k
+
∑
n
=
1
k
−
1
∫
0
I
k
I
n
M
n
,
k
d
i
k
=
1
2
L
k
I
k
2
+
∑
n
=
1
k
−
1
M
n
,
k
I
n
I
k
{\displaystyle W_{k}=\int i_{k}v_{k}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{k}}i_{k}L_{k}\mathrm {d} i_{k}+\sum _{n=1}^{k-1}\int _{0}^{I_{k}}I_{n}M_{n,k}\mathrm {d} i_{k}={\frac {1}{2}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}}
。
所以,当每一个闭合回路的电流都平滑地增加到其最终电流之后,储存于所有闭合回路的总磁能
W
{\displaystyle W}
为[ 5]
W
=
1
2
∑
k
=
1
K
L
k
I
k
2
+
∑
k
=
1
K
∑
n
=
1
k
−
1
M
n
,
k
I
n
I
k
=
1
2
∑
k
=
1
K
L
k
I
k
2
+
1
2
∑
k
=
1
K
∑
n
=
1
,
n
≠
k
K
M
n
,
k
I
n
I
k
{\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1,n\neq k}^{K}M_{n,k}I_{n}I_{k}}
。
假设将
I
n
{\displaystyle I_{n}}
与
I
k
{\displaystyle I_{k}}
的数值交换,总磁能
W
{\displaystyle W}
不会改变。满足可积分条件
∂
2
W
∂
I
n
∂
I
k
=
∂
2
W
∂
I
k
∂
I
n
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{n}\partial I_{k}}}={\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{k}\partial I_{n}}}}
,必需要求
L
k
,
n
=
L
n
,
k
{\displaystyle L_{k,n}=L_{n,k}}
成立。所以,电感矩阵
L
k
,
n
{\displaystyle L_{k,n}}
是个对称矩阵 。
从物理角度来看,上述增加电流方法并不是唯一方法,还有其它很多种增加电流方法。由于能量守恒,没有任何耗散能量。所以,不论选择哪一种方法,只要每一条闭合回路的电流增加到其最终电流,则储存的总磁能都相等。
对于某些案例,不同的电流分布会在空间的一些区域产生同样的磁场。这论据可以用来计算电感。例如,思考以下两个系统:
一条笔直的载流导线与导体墙之间的距离为
d
/
2
{\displaystyle d/2}
。
两条互相平行、载有异向电流的导线,彼此之间的距离为
d
{\displaystyle d}
。
这两个系统的磁场在导体墙外的半空间 (half-space )相等。第二个系统的磁能与电感分别是第一个系统的两倍。
很多电感器是用磁性材料 制成。假若磁场超过材料的饱和度 ,则这些材料会显示出非线性磁导率 行为与伴随的磁饱和效应 ,从而促使电感成为施加电流的函数。虽然法拉第电磁感应定律仍旧成立,但电感会具有多重歧义,依计算电路参数或磁通量而不同。
“大信号电感”是用来计算磁通量,以方程式定义为
L
s
(
i
)
=
d
e
f
N
Φ
i
=
Λ
i
{\displaystyle L_{s}(i)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {N\Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}
。
“小信号电感”是用来计算电压,以方程式定义为
L
d
(
i
)
=
d
e
f
d
(
N
Φ
)
d
i
=
d
Λ
d
i
{\displaystyle L_{d}(i)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} (N\Phi )}{\mathrm {d} i}}={\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} i}}}
。
非线性电感器的电压为
v
(
t
)
=
d
Λ
d
t
=
d
Λ
d
i
d
i
d
t
=
L
d
(
i
)
d
i
d
t
{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} i}}{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}=L_{d}(i){\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}
。
类似地,可以给出非线性互感的定义。
^ Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271.见该文集的再版 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
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