此条目页的主題是物理量。关于電路元件,請見「
电感元件 」。
電感 (Inductance )是閉合迴路 的一種屬性,即當通過閉合迴路的電流 改變時,會出現電動勢 來抵抗電流的改變。如果這種現象出現在自身迴路中,那麼這種電感稱為自感 (self-inductance ),是閉合迴路自己本身的屬性。假設一個閉合迴路的電流改變,由於感應作用在另外一個閉合迴路中產生電動勢,這種電感稱為互感 (mutual inductance )。電感以方程式表達為
E
=
−
L
d
i
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-L{\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}
;
其中,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
是電動勢,
L
{\displaystyle L}
是電感,
i
{\displaystyle i}
是電流,
t
{\displaystyle t}
是時間。
術語「電感」是1886年由奧利弗·黑維塞 命名[ 1] 。通常自感是以字母「L」標記,以紀念物理學家海因里希·楞次 [ 2] [ 3] 。互感是以字母「M」標記,是其英文(Mutual Inductance)的第一個字母。採用國際單位制 ,電感的單位是亨利 (Henry),標記為「H」,以紀念科學家約瑟·亨利 。與其他物理量的關係:一亨利等同一韋伯 除以一安培 (1 H = 1 Wb/A)。
電感器 是專門用在電路 裏實現電感的電路元件 。螺線管 是一種簡單的電感器,指的是多重捲繞的導線(稱為「線圈」),內部可以是空心的,或者有一個金屬芯。螺線管 的電感是自感。變壓器 是兩個耦合的線圈形成的電感器,由於具有互感屬性,是一種基本磁路 元件。在電路圖中電感的電路符號多半以L開頭,例如,L01、L02、L100、L201等。
應用馬克士威方程組 ,可以計算出電感。很多重要案例,經過簡化程序後,可以被解析。當涉及高頻率 電流和伴隨的集膚效應 ,經過解析拉普拉斯方程式 ,可以得到面電流密度 與磁場 。假設導體是纖細導線,自感仍舊跟導線半徑、內部電流分佈有關。假若導線半徑超小於其它長度尺寸,則這電流分佈可以近似為常數(在導線的表面或體積內部)。
流動於閉合迴路的含時電流所產生的含時磁通量,會促使閉合迴路本身出現感應電動勢。
如右圖所示,流動於閉合迴路的含時電流
i
(
t
)
{\displaystyle i(t)}
所產生的含時磁通量
Φ
(
i
)
{\displaystyle \Phi (i)}
,根據法拉第電磁感應定律 ,會促使閉合迴路本身出現感應電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
:
E
=
−
N
d
Φ
d
t
=
−
N
d
Φ
d
i
d
i
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} t}=-N{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} i}\ {\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}
;
其中,
N
{\displaystyle N}
是閉合迴路的捲繞匝數。
設定電感
L
{\displaystyle L}
為
L
=
N
d
Φ
d
i
{\displaystyle L=N{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}}
。
則感應電動勢與含時電流之間的關係為
E
=
−
L
d
i
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-L{\mathrm {d} i \over \mathrm {d} t}}
。
由此可知,一個典型的電感元件中,在其幾何與物理特性都固定的狀況下,產生的電壓
v
{\displaystyle v}
為:
v
=
L
d
i
d
t
{\displaystyle v=L{{\mathrm {d} i} \over \mathrm {d} t}}
。
电感的作用是抵抗电流的变化,但是这种作用与电阻 阻碍电流的流動是有区别的。电阻阻碍电流的流動的特徵是消耗电能 ,而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加;当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能,當电流增加时它會将能量 以磁场 的形式暂时储存起来,等到电流减小时它又會将磁场的能量释放出来,其效應就是抵抗电流的变化。
圖上方,閉合迴路1的含時電流
i
1
(
t
)
{\displaystyle i_{1}(t)}
所產生的含時磁通量,會促使閉合迴路2出現感應電動勢
E
2
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}
。圖下方,閉合迴路2的含時電流
i
2
(
t
)
{\displaystyle i_{2}(t)}
所產生的含時磁通量,會促使閉合迴路1出現感應電動勢
E
1
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}
。
如右圖所示,流動於閉合迴路1的含時電流
i
1
(
t
)
{\displaystyle i_{1}(t)}
,會產生磁通量
Φ
2
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{2}(t)}
穿過閉合迴路2,促使閉合迴路2出現感應電動勢
E
2
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}
。穿過閉合迴路2的磁通量和流動於閉合迴路1的含時電流,有線性關係 ,稱為互感
M
21
{\displaystyle M_{21}}
,以方程式表達為。
Φ
2
=
M
21
i
1
{\displaystyle \Phi _{2}=M_{21}i_{1}}
。
計算互感,可使用紐曼公式 (Neumann formula ):
M
21
=
μ
0
4
π
∮
C
1
∮
C
2
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
2
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle M_{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
;
其中,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是磁常數 ,
C
1
{\displaystyle \mathbb {C} _{1}}
是閉合迴路1,
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} _{2}}
是閉合迴路2,
X
1
{\displaystyle \mathbf {X} _{1}}
是微小線元素
d
ℓ
1
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}
的位置,
X
2
{\displaystyle \mathbf {X} _{2}}
是微小線元素
d
ℓ
2
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}
的位置。
由此公式可見,兩個線圈之間互感相同:
M
12
=
M
21
{\displaystyle M_{12}=M_{21}}
,且互感是由兩個線圈的形狀、尺寸和相對位置而確定。
穿過閉合迴路2的磁通量
Φ
2
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{2}(t)}
為
Φ
2
(
t
)
=
∫
S
2
B
1
(
X
2
,
t
)
⋅
d
a
2
{\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}\mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}
;
其中,
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} _{2}}
是邊緣為
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} _{2}}
的任意曲面,
d
a
2
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}}
是微小面元素。
改用磁向量勢
A
1
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}}
計算:
B
1
(
X
2
,
t
)
=
∇
2
×
A
1
(
X
2
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)=\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}
;
其中,
∇
2
{\displaystyle \nabla _{2}}
是對於變向量
X
2
{\displaystyle \mathbf {X} _{2}}
的偏微分。
應用斯托克斯公式 ,可以得到
Φ
2
(
t
)
=
∫
S
2
[
∇
2
×
A
1
(
X
2
,
t
)
]
⋅
d
a
2
=
∮
C
2
A
1
(
X
2
,
t
)
⋅
d
ℓ
2
{\displaystyle \Phi _{2}(t)=\int _{\mathbb {S} _{2}}[\nabla _{2}\times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)]\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} _{2}=\oint _{\mathbb {C} _{2}}\mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}
。
磁向量勢
A
1
(
X
2
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)}
的定義式為
A
1
(
X
2
,
t
)
=
d
e
f
μ
0
i
1
4
π
∮
C
1
d
ℓ
1
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {X} _{2},t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
。
磁通量與流動於閉合迴路1
C
1
{\displaystyle \mathbb {C} _{1}}
的電流
i
1
{\displaystyle i_{1}}
的關係式為
Φ
2
(
t
)
=
μ
0
i
1
4
π
∮
C
1
∮
C
2
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
2
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle \Phi _{2}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
。
所以,互感為
M
21
=
d
Φ
2
d
i
1
=
μ
0
4
π
∮
C
1
∮
C
2
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
2
|
X
2
−
X
1
|
{\displaystyle M_{21}={\frac {\mathrm {d} \Phi _{2}}{\mathrm {d} i_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{2}}{|\mathbf {X} _{2}-\mathbf {X} _{1}|}}}
。
這方程式稱為紐曼公式 (Neumann formula )。注意到對換閉合迴路
C
1
{\displaystyle \mathbb {C} _{1}}
與
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} _{2}}
不會改變結果,
M
21
=
M
12
{\displaystyle M_{21}=M_{12}}
,因此,可以以變數
M
{\displaystyle M}
統一代表。
類似地,穿過閉合迴路1的磁通量
Φ
1
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{1}(t)}
為
Φ
1
(
t
)
=
μ
0
i
1
4
π
∮
C
1
∮
C
1
′
d
ℓ
1
⋅
d
ℓ
1
′
|
X
1
−
X
1
′
|
{\displaystyle \Phi _{1}(t)={\frac {\mu _{0}i_{1}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} _{1}}\oint _{\mathbb {C} '_{1}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}_{1}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'_{1}}{|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} '_{1}|}}}
。
除去所有下標,令
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '}
代表同一閉合迴路,自感以方程式表示為
L
=
d
Φ
d
i
=
μ
0
4
π
∮
C
∮
C
′
d
ℓ
⋅
d
ℓ
′
|
X
−
X
′
|
{\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} i}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} }\oint _{\mathbb {C} '}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}{|\mathbf {X} -\mathbf {X} '|}}}
。
當
X
1
=
X
1
′
{\displaystyle \mathbf {X} _{1}=\mathbf {X} '_{1}}
時,這積分可能會發散 ,需要特別加以處理。另外,若假設閉合迴路為無窮細小,則在閉合迴路附近,磁場會變得無窮大,磁通量也會變得無窮大,所以,必須給予閉合迴路有限尺寸,設定其截面半徑
r
0
{\displaystyle r_{0}}
超小於徑長
ℓ
0
{\displaystyle \ell _{0}}
,
有很多種方法可以化解這困難。例如,令
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
為閉合迴路的中心曲軸,令
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '}
為閉合迴路的表面,則
X
1
≠
X
1
′
{\displaystyle \mathbf {X} _{1}\neq \mathbf {X} '_{1}}
,這積分就不會發散了[ 4] 。
耦合係數 為描述電感之間互感量與自感量的相對大小,兩電感器的耦合係數定義為
k
=
M
L
1
L
2
{\displaystyle k={\frac {M}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}
;
其中
k
{\displaystyle k}
為耦合係數,無單位;
M
{\displaystyle M}
為兩電感的互感值,
L
1
,
L
2
{\displaystyle L_{1},L_{2}}
分別為兩電感器的自感值。
將前面論述加以推廣,思考
K
{\displaystyle K}
條閉合迴路,設定第
k
{\displaystyle k}
條閉合迴路的捲繞匝數為
N
k
{\displaystyle N_{k}}
,載有電流
i
k
{\displaystyle i_{k}}
,則其磁鏈
N
k
Φ
k
{\displaystyle N_{k}\Phi _{k}}
為
N
k
Φ
k
=
∑
n
=
1
K
L
k
,
n
i
n
{\displaystyle N_{k}\Phi _{k}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}}
;
其中,
Φ
k
{\displaystyle \Phi _{k}}
是穿過第
k
{\displaystyle k}
條閉合迴路的磁通量,
L
k
,
k
=
L
k
{\displaystyle L_{k,k}=L_{k}}
是自感,
L
k
,
n
=
M
k
,
n
,
k
≠
n
{\displaystyle L_{k,n}=M_{k,n},k\neq n}
是互感。
由於第
n
{\displaystyle n}
條閉合迴路對於磁通量
Φ
k
{\displaystyle \Phi _{k}}
的總貢獻是捲繞匝數乘以電流,即
N
n
i
n
{\displaystyle N_{n}i_{n}}
,所以,
L
k
,
n
{\displaystyle L_{k,n}}
與乘積
N
k
N
n
{\displaystyle N_{k}N_{n}}
成正比。
從法拉第電磁感應定律,可以得到
v
k
=
−
E
k
=
N
k
d
Φ
k
d
t
=
∑
n
=
1
K
L
k
,
n
d
i
n
d
t
=
L
k
d
i
k
d
t
+
∑
n
=
1
,
n
≠
k
K
M
k
,
n
d
i
n
d
t
{\displaystyle v_{k}=-{\mathcal {E}}_{k}=N_{k}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n=1}^{K}L_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}=L_{k}{\frac {\mathrm {d} i_{k}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{n=1,\ n\neq k}^{K}M_{k,n}{\frac {\mathrm {d} i_{n}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
v
k
{\displaystyle v_{k}}
是第
k
{\displaystyle k}
條閉合迴路的感應電壓。
第
k
{\displaystyle k}
條閉合迴路的電功率
p
k
{\displaystyle p_{k}}
為
p
k
=
i
k
v
k
{\displaystyle p_{k}=i_{k}v_{k}}
。
假設原先所有電流為零,即
i
1
=
i
2
=
⋯
=
i
K
=
0
{\displaystyle i_{1}=i_{2}=\dots =i_{K}=0}
,
儲存於所有閉合迴路的總磁能為
0
{\displaystyle 0}
。現在,將第一條閉合迴路的電流
i
1
{\displaystyle i_{1}}
平滑地從
0
{\displaystyle 0}
增加到
I
1
{\displaystyle I_{1}}
,同時保持其它閉合迴路的電流不變,則儲存於第一條閉合迴路的磁能
W
1
{\displaystyle W_{1}}
為
W
1
=
∫
i
1
v
1
d
t
=
∫
0
I
1
i
1
L
1
d
i
1
=
1
2
L
1
I
1
2
{\displaystyle W_{1}=\int i_{1}v_{1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{1}}i_{1}L_{1}\mathrm {d} i_{1}={\frac {1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}}
。
然後,將第二條閉合迴路的電流
i
2
{\displaystyle i_{2}}
平滑地從
0
{\displaystyle 0}
增加到
I
2
{\displaystyle I_{2}}
,同時保持其它閉合迴路的電流不變,則儲存於第二條閉合迴路的磁能
W
2
{\displaystyle W_{2}}
為
W
2
=
∫
i
2
v
2
d
t
=
∫
0
I
2
i
2
L
2
d
i
2
+
∫
0
I
2
I
1
M
1
,
2
d
i
2
=
1
2
L
2
I
2
2
+
M
1
,
2
I
1
I
2
{\displaystyle W_{2}=\int i_{2}v_{2}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{2}}i_{2}L_{2}\mathrm {d} i_{2}+\int _{0}^{I_{2}}I_{1}M_{1,2}\mathrm {d} i_{2}={\frac {1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+M_{1,2}I_{1}I_{2}}
。
案照這方法繼續地計算,儲存於第
k
{\displaystyle k}
條閉合迴路的磁能
W
k
{\displaystyle W_{k}}
為
W
k
=
∫
i
k
v
k
d
t
=
∫
0
I
k
i
k
L
k
d
i
k
+
∑
n
=
1
k
−
1
∫
0
I
k
I
n
M
n
,
k
d
i
k
=
1
2
L
k
I
k
2
+
∑
n
=
1
k
−
1
M
n
,
k
I
n
I
k
{\displaystyle W_{k}=\int i_{k}v_{k}\mathrm {d} t=\int _{0}^{I_{k}}i_{k}L_{k}\mathrm {d} i_{k}+\sum _{n=1}^{k-1}\int _{0}^{I_{k}}I_{n}M_{n,k}\mathrm {d} i_{k}={\frac {1}{2}}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}}
。
所以,當每一個閉合迴路的電流都平滑地增加到其最終電流之後,儲存於所有閉合迴路的總磁能
W
{\displaystyle W}
為[ 5]
W
=
1
2
∑
k
=
1
K
L
k
I
k
2
+
∑
k
=
1
K
∑
n
=
1
k
−
1
M
n
,
k
I
n
I
k
=
1
2
∑
k
=
1
K
L
k
I
k
2
+
1
2
∑
k
=
1
K
∑
n
=
1
,
n
≠
k
K
M
n
,
k
I
n
I
k
{\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_{n}I_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}L_{k}I_{k}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{K}\sum _{n=1,n\neq k}^{K}M_{n,k}I_{n}I_{k}}
。
假設將
I
n
{\displaystyle I_{n}}
與
I
k
{\displaystyle I_{k}}
的數值交換,總磁能
W
{\displaystyle W}
不會改變。滿足可積分條件
∂
2
W
∂
I
n
∂
I
k
=
∂
2
W
∂
I
k
∂
I
n
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{n}\partial I_{k}}}={\frac {\partial ^{2}{W}}{\partial I_{k}\partial I_{n}}}}
,必需要求
L
k
,
n
=
L
n
,
k
{\displaystyle L_{k,n}=L_{n,k}}
成立。所以,電感矩陣
L
k
,
n
{\displaystyle L_{k,n}}
是個對稱矩陣 。
從物理角度來看,上述增加電流方法並不是唯一方法,還有其它很多種增加電流方法。由於能量守恆,沒有任何耗散能量。所以,不論選擇哪一種方法,只要每一條閉合迴路的電流增加到其最終電流,則儲存的總磁能都相等。
對於某些案例,不同的電流分佈會在空間的一些區域產生同樣的磁場。這論據可以用來計算電感。例如,思考以下兩個系統:
一條筆直的載流導線與導體牆之間的距離為
d
/
2
{\displaystyle d/2}
。
兩條互相平行、載有異向電流的導線,彼此之間的距離為
d
{\displaystyle d}
。
這兩個系統的磁場在導體牆外的半空間 (half-space )相等。第二個系統的磁能與電感分別是第一個系統的兩倍。
很多電感器是用磁性材料 製成。假若磁場超過材料的飽和度 ,則這些材料會顯示出非線性磁導率 行為與伴隨的磁飽和效應 ,從而促使電感成為施加電流的函數。雖然法拉第電磁感應定律仍舊成立,但電感會具有多重歧義,依計算電路參數或磁通量而不同。
「大信號電感」是用來計算磁通量,以方程式定義為
L
s
(
i
)
=
d
e
f
N
Φ
i
=
Λ
i
{\displaystyle L_{s}(i)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {N\Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}
。
「小信號電感」是用來計算電壓,以方程式定義為
L
d
(
i
)
=
d
e
f
d
(
N
Φ
)
d
i
=
d
Λ
d
i
{\displaystyle L_{d}(i)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} (N\Phi )}{\mathrm {d} i}}={\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} i}}}
。
非線性電感器的電壓為
v
(
t
)
=
d
Λ
d
t
=
d
Λ
d
i
d
i
d
t
=
L
d
(
i
)
d
i
d
t
{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} i}}{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}=L_{d}(i){\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}
。
類似地,可以給出非線性互感的定義。
^ Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271.見該文集的再版 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
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