空矩阵

此条目的主题是行数或列数为零的矩阵。关于行数与列数皆不为零，但其元素全为零的矩阵，请见“零矩阵”。

空矩阵是指至少有一个维度为零的矩阵，亦即行数或列数为零的矩阵。最小的空矩阵为0×0矩阵。空矩阵亦可以是0×5或10×0等形式。空矩阵不会存在任何元素。

定义

空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个$n\times 0$和$0\times p$的空矩阵相乘是一个$n\times p$的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己。

性质

• 维数相同的空矩阵与空矩阵相乘仍为空矩阵

  $\left[\ \right]\times \left[\ \right]=\left[\ \right]$

• 空矩阵与纯量或向量相乘仍为空矩阵
• $n\times 0$的空矩阵和$0\times p$的空矩阵相乘结果为$n\times p$的零矩阵
• $0\times m$的空矩阵和任一$m\times n$的矩阵相乘结果为$0\times n$的空矩阵
• 任一$m\times n$的矩阵和$n\times 0$的空矩阵相乘结果为$m\times 0$的空矩阵
• 空矩阵的行列式约定为1，即空积。
• 空矩阵$\left[\ \right]$等于零维零矩阵$\mathbf {0} _{0\times 0}$等于零维单位矩阵$I_{0\times 0}$。

  $\left[\ \right]=\mathbf {0} _{0\times 0}=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}$

• 空矩阵的反矩阵为自身。

  由于$\left[\ \right]=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}$

  因此$\left[\ \right]\left[\ \right]^{-1}=\left[\ \right]=I_{0\times 0}$，满足反矩阵与自身相乘为单位矩阵的定义。

• 空矩阵的秩为0

参见

• 零矩阵