空矩阵

此条目的主題是行数或列数为零的矩陣。关于行数與列数皆不为零，但其元素全為零的矩陣，請見「零矩陣」。

空矩阵是指至少有一個維度為零的矩陣，亦即行数或列数为零的矩阵。最小的空矩陣為0×0矩陣。空矩陣亦可以是0×5或10×0等形式。空矩陣不會存在任何元素。

定義

空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个$n\times 0$和$0\times p$的空矩阵相乘是一个$n\times p$的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己。

性質

• 維數相同的空矩阵與空矩阵相乘仍為空矩阵

  $\left[\ \right]\times \left[\ \right]=\left[\ \right]$

• 空矩阵與純量或向量相乘仍為空矩阵
• $n\times 0$的空矩阵和$0\times p$的空矩阵相乘結果為$n\times p$的零矩阵
• $0\times m$的空矩阵和任一$m\times n$的矩阵相乘結果為$0\times n$的空矩阵
• 任一$m\times n$的矩阵和$n\times 0$的空矩阵相乘結果為$m\times 0$的空矩阵
• 空矩阵的行列式约定为1，即空積。
• 空矩阵$\left[\ \right]$等於零維零矩陣$\mathbf {0} _{0\times 0}$等於零維單位矩陣$I_{0\times 0}$。

  $\left[\ \right]=\mathbf {0} _{0\times 0}=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}$

• 空矩阵的反矩陣為自身。

  由於$\left[\ \right]=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}$

  因此$\left[\ \right]\left[\ \right]^{-1}=\left[\ \right]=I_{0\times 0}$，滿足反矩陣與自身相乘為單位矩陣的定義。

• 空矩阵的秩為0

參見

• 零矩陣