空矩陣

此條目的主題是行數或列數為零的矩陣。關於行數與列數皆不為零，但其元素全為零的矩陣，請見「零矩陣」。

空矩陣是指至少有一個維度為零的矩陣，亦即行數或列數為零的矩陣。最小的空矩陣為0×0矩陣。空矩陣亦可以是0×5或10×0等形式。空矩陣不會存在任何元素。

定義

空矩陣的定義可以完善一些關於零維空間的約定。包括約定一個矩陣與空矩陣相乘得到的也是空矩陣，兩個$n\times 0$和$0\times p$的空矩陣相乘是一個$n\times p$的零矩陣（所有元素都是零的矩陣）。0×0的空矩陣的行列式約定為1，所以它也可以有逆矩陣，約定為它自己。

性質

• 維數相同的空矩陣與空矩陣相乘仍為空矩陣

  $\left[\ \right]\times \left[\ \right]=\left[\ \right]$

• 空矩陣與純量或向量相乘仍為空矩陣
• $n\times 0$的空矩陣和$0\times p$的空矩陣相乘結果為$n\times p$的零矩陣
• $0\times m$的空矩陣和任一$m\times n$的矩陣相乘結果為$0\times n$的空矩陣
• 任一$m\times n$的矩陣和$n\times 0$的空矩陣相乘結果為$m\times 0$的空矩陣
• 空矩陣的行列式約定為1，即空積。
• 空矩陣$\left[\ \right]$等於零維零矩陣$\mathbf {0} _{0\times 0}$等於零維單位矩陣$I_{0\times 0}$。

  $\left[\ \right]=\mathbf {0} _{0\times 0}=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}$

• 空矩陣的反矩陣為自身。

  由於$\left[\ \right]=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}$

  因此$\left[\ \right]\left[\ \right]^{-1}=\left[\ \right]=I_{0\times 0}$，滿足反矩陣與自身相乘為單位矩陣的定義。

• 空矩陣的秩為0

參見

• 零矩陣