纠缠谱

纠缠谱 (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力学概念，可作为纠缠熵的推广，用来分析量子多体系统的波函数。纠缠谱的数学定义是

$\xi _{i}=-\ln \omega _{i}$

其中$\omega _{i}$是约化密度矩阵的第$i$个本征值。

简介

讨论量子纠缠的时候，经常把一个量子系统区分成 A 和 B 两个子系统，量子纠缠则是探讨 A 和 B 之间的量子关联性。假设总系统的归一化波函数可以写成

$|\psi \rangle =\sum _{i\in A}\sum _{k\in B}\phi _{ik}|i\rangle |k\rangle$

虽然总系统的密度矩阵 $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ 是一个纯态，但是经过部分迹子系统 B 的自由度之后，得到的约化密度矩阵 $\rho _{A}=\mathrm {tr} _{B}\rho$ 可能是一个混合态，即 $\rho _{A}^{2}\neq \rho _{A}$。 这个部分迹“$\mathrm {tr} _{B}$”是指只迹子系统 B 的自由度的操作，其结果仍是一个矩阵，矩阵大小变为子系统 A 的自由度的大小。约化密度矩阵的矩阵元是

$[\rho _{A}]_{ij}=\sum _{k}\phi _{ik}^{*}\phi _{jk}$

可以看出约化密度矩阵是一个厄米矩阵，$[\rho _{A}]_{ji}^{*}=[\rho _{A}]_{ij}$，所以 $\rho _{A}$ 的本征值必为实数。由于 $\rho _{A}$ 可能是一个混合态，这表示当总系统是$|\psi \rangle$这个状态时，如果测量只发生在子系统 A，则会得到许多不同可能的结果，这些不同的结果相对应的机率就是 $\rho _{A}$ 的本征值 $\omega _{i}$，满足本征值方程式 $\rho _{A}|\omega _{i}\rangle =\omega _{i}|\omega _{i}\rangle$。由于总系统波函数是归一化的，$\langle \psi |\psi \rangle =1$，可推得所有的本征值的总和也是归一化的。

$\sum _{i}\omega _{i}=1$

$\omega _{i}$ 也有机率的意义。一个只作用在 A 的测量量 $O_{A}$ 的期望值就是把子系统在各个本征态的期望值 $\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle$，和子系统对应在那个本征态的机率 $\omega _{i}$，相乘之后的总和，

$\langle O_{A}\rangle =\mathrm {tr} (\rho _{A}O_{A})=\sum _{i}\omega _{i}\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle$

A 和 B 之间的纠缠的程度大小，可以从 $\omega _{i}$ 的分布观察得到，例如：若所有的本征态的机率皆相等，$\omega _{1}=\omega _{2}=\cdots$，则 A 和 B 是最大可能的纠缠状态。另一个极限是，若只有其中一个本征值为 1，$\omega _{1}=1$，其馀本征值皆为 0，$\omega _{2}=\omega _{3}=\cdots =0$，那么测量子系统 A 也只会得到一种可能，这表示 A 和 B 没有任何纠缠。“纠缠熵”正是可以很好的刻画这样的性质，不过纠缠熵把本征值的分布浓缩成一个数值，纠缠谱则是直接观察 $\rho _{A}$ 的本征值的分布，然而纠缠谱的定义让单纯的机率分布和能谱有更巧妙的关联和意义。

在量子统计力学中，考虑一个正则系综的混合态密度矩阵 $\rho =e^{-\beta H}/Z$，其中 $\beta =1/k_{B}T$ 是温度的倒数，$k_{B}$ 是波兹曼常数，$Z=\mathrm {tr} (e^{-\beta H})$是配分函数，$H$ 是系统的哈密顿算符。既然约化密度矩阵 $\rho _{A}$ 是一个混合态，那么将它类比成一个热力学平衡时，温度为 $\beta =1$ 的热态 $\rho _{A}=e^{-H_{E}}$，可以定义出一个假想的哈密顿算符 $H_{E}$，这个 $H_{E}$ 是只作用在子系统 A 上的算符，称为纠缠哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian)，而 $H_{E}$ 的本征值 $\xi _{i}$ 就称为纠缠谱，满足 $H_{E}|\omega _{i}\rangle =\xi _{i}|\omega _{i}\rangle$，所以纠缠谱和 $\omega _{i}$ 的关系是 $\omega _{i}=e^{-\xi _{i}}$ 或

$\xi _{i}=-\ln \omega _{i}$

须注意纠缠谱的定义可以不讨论系统的哈密顿算符，而且即使系统的哈密顿算符 $H$ 可写成子系统的相加以及子系统之间的相互作用，$H=H_{A}+H_{B}+H_{AB}$，一般来说纠缠哈密顿算符 $H_{E}$ 也不会正比于子系统 A 的哈密顿算符 $H_{A}$，$H_{E}\neq \beta H_{A}$。