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藤村幸三郎的三角形问题

藤村幸三郎的三角形问题（Kobon triangle problem）是一个离散几何上未解决的问题，该问题首先由藤村幸三郎（Kobon Fujimura）提出。这个问题问说“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形最多有多少个？”。一些此问题的变体问的是在射影平面上的状况，且要求其中的三角形不能为该直线排列中的各线给穿过。[1]

此问题使用三条、四条与五条笔直线段之解。

田村三郎证明说此问题的最大整数解之值不超过，这为“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形的数量的最大值”解提供了一个上界。[2]

在2007年，约翰尼斯‧巴德（Johannes Bader）和吉莱‧克雷蒙（Gilles Clément）发现了一个较小的上界，他们证明说当k除以6的馀数为0或2时，该k值对此问题答案的上界会比田村氏所给出的上界要来得小。[3]在这些k值中，其上界值会为田村氏给出的上界值减一。

此问题的“完美解”（与理论最大值相合的已知最佳解）在k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的状况下是已求出的[4] ；在k = 10, 11 和 12的状况下，目前已知的最佳解比其理论上界要小一个值。

借由使用佛吉（D. Forge）和罗米瑞兹─阿尔丰森（J. L. Ramirez Alfonsin）两氏提供的方法[1][5]，在已知k0条线状况下的完美解的状况下，亦可知此问题对形如的各数字ki的（完美）解，像例如当k0 = 3时，在k = 3,5,9,17,33,65,...等的状况下，“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形的数量的最大值”亦可求出。

k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 OEIS
田村氏的上界 1 2 5 8 11 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120 133 A032765
克雷蒙与巴德二氏的上界 1 2 5 7 11 15 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119 133 -
已知的最佳解 1 2 5 7 11 15 21 25 32 38 47 53 65 72 85 93 104 115 130 A006066

范例

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  •  
    三条直线的状况，此情况下为一三角形
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    四条直线的状况
  •  
    五条直线的状况
  •  
    六条直线的状况
  •  
    七条直线的状况

参照

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  1. ^ 1.0 1.1 Forge, D.; Ramírez Alfonsín, J. L., Straight line arrangements in the real projective plane, Discrete and Computational Geometry, 1998, 20 (2): 155–161, doi:10.1007/PL00009373 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Kobon Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  3. ^ G. Clément and J. Bader. Tighter Upper Bound for the Number of Kobon Triangles. Draft Version, 2007. (PDF). [2013-05-23]. （原始内容 (PDF)存档于2017-11-11）. 
  4. ^ Ed Pegg Jr. on Math Games. [2013-05-23]. （原始内容存档于2013-06-02）. 
  5. ^ "Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin", Retrieved on 9 May 2012.. [2013-05-23]. （原始内容存档于2021-03-08）. 

外部链接

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