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藤村幸三郎的三角形問題

藤村幸三郎的三角形問題（Kobon triangle problem）是一個離散幾何上未解決的問題，該問題首先由藤村幸三郎（Kobon Fujimura）提出。這個問題問說「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形最多有多少個？」。一些此問題的變體問的是在射影平面上的狀況，且要求其中的三角形不能為該直線排列中的各線給穿過。[1]

此問題使用三條、四條與五條筆直線段之解。

田村三郎證明說此問題的最大整數解之值不超過，這為「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」解提供了一個上界。[2]

在2007年，約翰尼斯‧巴德（Johannes Bader）和吉萊‧克雷蒙（Gilles Clément）發現了一個較小的上界，他們證明說當k除以6的餘數為0或2時，該k值對此問題答案的上界會比田村氏所給出的上界要來得小。[3]在這些k值中，其上界值會為田村氏給出的上界值減一。

此問題的「完美解」（與理論最大值相合的已知最佳解）在k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的狀況下是已求出的[4] ；在k = 10, 11 和 12的狀況下，目前已知的最佳解比其理論上界要小一個值。

藉由使用佛吉（D. Forge）和羅米瑞茲─阿爾豐森（J. L. Ramirez Alfonsin）兩氏提供的方法[1][5]，在已知k0條線狀況下的完美解的狀況下，亦可知此問題對形如的各數字ki的（完美）解，像例如當k0 = 3時，在k = 3,5,9,17,33,65,...等的狀況下，「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」亦可求出。

k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 OEIS
田村氏的上界 1 2 5 8 11 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120 133 A032765
克雷蒙與巴德二氏的上界 1 2 5 7 11 15 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119 133 -
已知的最佳解 1 2 5 7 11 15 21 25 32 38 47 53 65 72 85 93 104 115 130 A006066

範例

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  •  
    三條直線的狀況，此情況下為一三角形
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    四條直線的狀況
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    五條直線的狀況
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    六條直線的狀況
  •  
    七條直線的狀況

參照

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  1. ^ 1.0 1.1 Forge, D.; Ramírez Alfonsín, J. L., Straight line arrangements in the real projective plane, Discrete and Computational Geometry, 1998, 20 (2): 155–161, doi:10.1007/PL00009373 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Kobon Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  3. ^ G. Clément and J. Bader. Tighter Upper Bound for the Number of Kobon Triangles. Draft Version, 2007. (PDF). [2013-05-23]. （原始内容 (PDF)存档于2017-11-11）. 
  4. ^ Ed Pegg Jr. on Math Games. [2013-05-23]. （原始内容存档于2013-06-02）. 
  5. ^ "Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin", Retrieved on 9 May 2012.. [2013-05-23]. （原始内容存档于2021-03-08）. 

外部連結

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