藤村幸三郎的三角形問題

藤村幸三郎的三角形問題（Kobon triangle problem）是一個離散幾何上未解決的問題，該問題首先由藤村幸三郎（Kobon Fujimura）提出。這個問題問說「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形最多有多少個？」。一些此問題的變體問的是在射影平面上的狀況，且要求其中的三角形不能為該直線排列中的各線給穿過。^[1]

田村三郎證明說此問題的最大整數解之值不超過 ${\frac {k(k-2)}{3}}$ ，這為「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」解提供了一個上界。^[2]

在2007年，約翰尼斯‧巴德（Johannes Bader）和吉萊‧克雷蒙（Gilles Clément）發現了一個較小的上界，他們證明說當k除以6的餘數為0或2時，該k值對此問題答案的上界會比田村氏所給出的上界要來得小。^[3]在這些k值中，其上界值會為田村氏給出的上界值減一。

此問題的「完美解」（與理論最大值相合的已知最佳解）在k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的狀況下是已求出的^[4] ；在k = 10, 11 和 12的狀況下，目前已知的最佳解比其理論上界要小一個值。

藉由使用佛吉（D. Forge）和羅米瑞茲─阿爾豐森（J. L. Ramirez Alfonsin）兩氏提供的方法^[1]^[5]，在已知k₀條線狀況下的完美解的狀況下，亦可知此問題對形如 $k_{n+1}=2\cdot k_{n}-1,\!\,$ 的各數字k_i的（完美）解，像例如當k₀ = 3時，在k = 3,5,9,17,33,65,...等的狀況下，「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」亦可求出。

k	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	OEIS
田村氏的上界	1	2	5	8	11	16	21	26	33	40	47	56	65	74	85	96	107	120	133	A032765
克雷蒙與巴德二氏的上界	1	2	5	7	11	15	21	26	33	39	47	55	65	74	85	95	107	119	133	-
已知的最佳解	1	2	5	7	11	15	21	25	32	38	47	53	65	72	85	93	104	115	130	A006066